Booleova algebra

Distributivní komplementární svaz se nazývá Booleův svaz nebo Booleova algebra.

Operace spojení \vee se značí symbolem +, operace průsek \wedge symbolem \cdot.

Obsahuje 2^n prvků. (2, 4, 8, 16, ...)

Booleovský kalkulus

Nechť X je Booleova algebra, a, b, c \in X. Potom platí:

	spojení	průsek	vlastnost
S1	`a+a=a`	`a\cdot a=a`	idempotentnost
S2	`a+b=b+a`	`a\cdot b=b\cdot a`	komutativita
S3	`a+(b+c)=(a+b)+c`	`a\cdot (b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c`	asociativita
S4	`a+(a\cdot b) = a`	`a\cdot(a+b)=a`	absorbce
D	`a\cdot(b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)`	`a+(b\cdot c)=(a+b)\cdot(a+c)`	distributivita
N1	`a+0=a`	`a\cdot1=a`	neutrální prvky
N2	`a+1=1`	`a\cdot0=0`	neutrální prvky
K1	`\overline 0 = 1`	`\overline 1 = 0`	komplementy
K2	`a + \overline a = 1`	`a \cdot \overline a = 0`	komplementarita
K3	`\overline{(\overline a)} = a`		involutornost
K4	`\overline{a+b}=\overline a \cdot \overline b`	`\overline{a\cdot b}=\overline a + \overline b`	De Morganovy zákony

Atom

Nechť X je Booleova algebra. Nenulový prvek a \in X takový, že pro každý prvek x \in X, x\neq a platí x \wedge a = 0 nebo x \wedge a = a, se nazývá atom algebry X.

tedy dolní hranice prvku a a libovolného x je tedy 0 nebo a

Atomy existují v každé Booleově algebře. Existovat nemusí pouze v nekonečných Booleových algebrách.

Nechť X je Booleova algebra, x \in X. Potom existují prvky y, z \in X takové, že y\neq x, z\neq x,y \vee z = x právě tehdy, když x není ani nulový prvek ani atom X.

prvky x, y, z jsou rozdílné a horní hranice y, z je x tehdy, pokud x není nulový ani atom

Nechť X je konečná Booleova algebra a x \in X je libovolný nenulový prvek, potom platí, že

x = a_{1} \vee a_{2} \vee \dots \vee a_{k},

kde a_{1}, \dots, a_{k} jsou všechny atomy X, pro které a_{i} \leq x, i =1, \dots, k.

TODO: 5. přednáška

Direktní součin Booleovy algebry

Nechť B_{1} = (X, \leq_{1}), B_{2} = (Y, \leq_{2}) jsou Booleovy algebry. Potom se direktním součinem Booleových algeber B_{1} \times B_{2} rozumí Booleova algebra B = B_{1} \times B_{2} = (X \times Y, \leq), kde platí (a_{1}, a_{2}) \leq (b_{1}, b_{2}) \iff a_{1} \leq_{1} b_{1} \wedge a_{2} \leq_{2} b_{2}.

Příklad: Mějme Booleovy algebry B_{1}, B_{2}.

B_{1} = \{0_{1}, 1_{1}\} \quad B_{2} = \{0_{2}, 1_{2}\}
B_{1} \times B_{2} = \{(0_{1}, 0_{2}), (0_{1}, 1_{2}), (1_{1}, 0_{2}), (1_{1}, 1_{2})\}

Důsledek: Každá Booleova algebra B je izomorfní s B_{2}^n, kde n je počet atomů B.

B_{2}^2 = B_{2} \times B_{2}, \quad B_{2}^3 = B_{2} \times B_{2} \times B_{2}
B_{2}^4 - hyperkrychle (4-rozměrná)

3.7 KiB Raw Blame History

Booleova algebra

Booleovský kalkulus

Atom

Direktní součin Booleovy algebry

3.7 KiB

Raw Blame History