Svazy

Svaz je uspořádaná množina (X, \leq), ve které existuje supremum i infimum pro každou dvojici prvků.

Pro libovolné dva prvky a, b svazu (X, \leq) platí

a \leq b právě když a \vee b = b právě když a \wedge b = a.

popis	inf/sup	značení
`a` je dolní závora `a, b`	`a = \inf(a, b)`	`a = a \wedge b`
`b` je horní závora `a, b`	`b = \sup(a, b)`	`b = a \vee b`

Princip duality

Když v libovolném pravdivém tvrzení prohodíme průsek a spojení (a uspořádání nahradíme inverzním), dostaneme opět pravdivé tvrzení.

Operace

Supremum

značíme x \vee y (případně $+$)
nejmenší horní závora obou prvků
spojení (sjednocení) dvou množin

Infimum

značíme x \wedge y (případně $\cdot$)
největší dolní závora obou prvků
průsek (průnik) dvou množin

Vlastnosti

Mejmě svaz X a x, y, z \in X. Potom platí:

supremum	infimum	vlastnost
`x \vee x = x`	`x \wedge x = x`	idempotentnost
`x \vee y = y \vee x`	`x \wedge y = y \wedge x`	komutativita
`x \vee (y \vee z) = (x \vee y) \vee z`	`x \wedge (y \wedge z) = (x \wedge y) \wedge z`	asociativita
`x \vee (y \wedge x) = x`	`x \wedge (y \vee x) = x`	absorbce

Distributivní svaz

Řekneme, že svaz (X, \leq) je distributivní, jestliže

\forall \, x, y, z \in X je x \wedge (y \vee z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z).

Z principu duality v distributivním svazu platí rovněž x \vee (y \wedge z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z)

Birkhoffovo kritérium distributivity

Svaz (X, \leq) je distributivní právě když neobsahuje jako podsvaz X_{1} ani X_{2}.

Podsvaz

Nechť (X, \leq) je svaz a Y \subset X. Řekneme, že POSET (Y, \leq) je podsvazem svazu (X, \leq), jestliže operace spojení a průseku v Y jsou zúženími operací spojení a průseku v X.

Vyškrtnu infimum a supremum, pokud alespoň jeden z prvků chybí v podsvazu a zbytek tabulky by měl stále platit.

Konečný svaz

Je-li (X, \leq) konečný svaz (tj. |X| je konečný), potom v X existuje nejmenší i největší prvek.

největší prvek značen jako 1
nejmenší prvek značen jako 0

Jestliže ve svazu X existují prvky 1 a 0, potom \forall \, x \in X je x \vee 0 = x a x \wedge 1 = x.

Komplementární svaz

Nechť (X, \leq) je svaz s prvky 0 a 1, nechť x \in X. Prvek \overline x, pro který platí x \vee \overline x = 1 a x \wedge \overline x = 0, se nazývá doplněk (komplement) prvku x. Svaz s prvky 0 a 1, v němž \forall \, x \in X : \exists \, \overline x, se nazývá komplementární svaz.

V distributivním komplementárním svazu má každý prvek právě jeden doplněk. Takový svaz nazveme Booleovou algebrou.

De Morganovy zákony

Nechť (X, \leq) je distributivní komplementární svaz, x, y \in X. Potom platí:

\overline{x \vee y} = \overline x \wedge \overline y,
\overline{x \wedge y} = \overline x \vee \overline y.

3.5 KiB Raw Blame History