FAV-ZCU/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/11. Stoneova věta.md

Stoneova věta

Příklad

• dvě Booleovy algebry B a C
  1. dělitelé 30, uspořádání delitelností, X = \{ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 \}
  2. systém podmnožin, A = \{a, b, c\}, (2^A, \leq)
• f: 1 \to \emptyset, 2 \to a, 3 \to b, 5 \to c, 6 \to ab, 10 \to ac, 15 \to bc, 30 \to abc

Isomorfismus dvou Booleových algeber (X, \leq) a (Y, \subseteq) je zobrazení f: X \to Y, které

1. je bijekce (prosté i na),
2. zachovává všechny operace ($\wedge, \vee, \overline{}, 0, 1$).

• pro a, b \in X platí a \leq b právě když f(a) \subseteq f(b)

Tyto uspořádané množiny jsou isomorfní (psáno $(X, \leq) \simeq (Y, \subseteq)$), pokud mezi nimi existuje isomorfismus.

Věta (Stone): Každá konečná Booleova algebra je izomorfní Booleově algebře (2^X, \leq) pro nějakou množinu X.

• X = \text{At}(B) - množina atomů

Důsledek: Každá Booleova algebra (B, \leq) má 2^n prvků, kde n = počet atomů.

• \implies počet atomů = \log_{2}\vert B\vert

Důsledek: Každé dvě Booleovy algebry se stejným počtem prvků jsou izomorfní.

TODO: písání s. 49