25 lines
1.1 KiB
Markdown
25 lines
1.1 KiB
Markdown
# Stoneova věta
|
|
|
|
**Příklad**
|
|
- dvě Booleovy algebry $B$ a $C$
|
|
1. dělitelé 30, uspořádání delitelností, $X = \{ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 \}$
|
|
2. systém podmnožin, $A = \{a, b, c\}$, $(2^A, \leq)$
|
|
- $f: 1 \to \emptyset, 2 \to a, 3 \to b, 5 \to c, 6 \to ab, 10 \to ac, 15 \to bc, 30 \to abc$
|
|
|
|
**Isomorfismus** dvou Booleových algeber $(X, \leq)$ a $(Y, \subseteq)$ je zobrazení $f: X \to Y$, které
|
|
1. je bijekce (prosté i na),
|
|
2. zachovává všechny operace ($\wedge, \vee, \overline{}, 0, 1$).
|
|
|
|
- pro $a, b \in X$ platí $a \leq b$ právě když $f(a) \subseteq f(b)$
|
|
|
|
Tyto uspořádané množiny jsou isomorfní (psáno $(X, \leq) \simeq (Y, \subseteq)$), pokud mezi nimi existuje isomorfismus.
|
|
|
|
**Věta (Stone)**: Každá **konečná** Booleova algebra je **izomorfní** Booleově algebře $(2^X, \leq)$ pro nějakou množinu $X$.
|
|
- $X = \text{At}(B)$ - množina atomů
|
|
|
|
**Důsledek**: Každá Booleova algebra $(B, \leq)$ má $2^n$ prvků, kde $n =$ počet atomů.
|
|
- $\implies$ počet atomů $= \log_{2}\vert B\vert$
|
|
|
|
**Důsledek**: Každé dvě Booleovy algebry se stejným počtem prvků jsou izomorfní.
|
|
|
|
TODO: písání s. 49 |