FAV-ZCU/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/07. Částečně uspořádané množiny.md

Částečně uspořádané množiny

Uspořádání na množině X je libovolná relace na X, která je reflexivní, slabě antisymetrická a tranzitivní.

Je-li R uspořádání na množině X, pak dvojice (X, R) se nazývá uspořádaná množina. Jsou-li prvky x, y v relaci R (tedy $x , R , y$), interpretujeme to slovy "prvek x je menší nebo roven prvku y".

Z uvedené definice se uspořádáním říká také neostrá uspořádání, protože pro každé x platí x \, R \, x. (U ostrého uspořádání bychom místo reflexivity vyžadovali antireflexitu)

Porovnatelnost prvků

Nechť x, y jsou dva prvky uspořádané množiny (X, \leq). Platí-li x \leq y nebo y \leq x, jsou prvky x, y porovnatelné, v opačném případě neporovnatelné.

Uspořádání \leq se často označuje jako částečné (POSET), protože definice připouští existenci dvojic neporovnatelných prvků.

Hasseův diagram

Hasseův diagram uspořádané množiny (X, \leq) je znázornění, ve kterém pro každou dvojici prvků x, y \in X platí x \triangleleft y, právě když x, y jsou spojeny čarou a prvek y je nakreslen výše než x.

Spojnice není nutná opatřovat šipkou, protože směr je jednoznačně dán.

Nezakreslujeme

• relace prvků, které jsou v relaci díky tranzitivitě
• smyčky u vrcholů (reflexivita)

Bezprostřední předchůdce

Nechť x, y jsou prvky uspořádané množiny (X, \leq). Prvek x je bezprostředním předchůdcem prvku y (psáno $x \triangleleft y$), pokud x \leq y a neexistuje žádné z \in X - \{x,y\}, pro které by platilo x \leq z \leq y.

Na vztah \triangleleft se můžeme dívat jako na relaci na množině X (tzv. relace bezprostředního předcházení). Tato relace obecně není reflexívní ani tranzitivní.

Základní pojmy

Největší prvek

• a \in X, pokud pro každé x \in X platí x \leq a
• musí být maximálním prvkem
• nemusí existovat, případně určen jednoznačně

Nejmenší prvek

• a \in X, pokud pro každé x \in X platí a \leq x
• musí být minimálním prvkem
• nemusí existovat, případně určen jednoznačně

Maximální prvek

• a \in X, pokud pro žádné x \in X není a \leq x
• prvky, které nejsou v relaci se žádným větším prvkem
• může jich být více

Minimální prvek

• a \in X, pokud pro žádné x \in X není x \leq a
• prvky, které nejsou v relaci se žádným menším prvkem
• může jich být více

Supremum

• nejmenší horní závora prvků x, y \in X
• prvek s \in X s vlastnostmi
  • x \leq s a y \leq s (je horní závorou)
  • je-li x \leq z a y \leq z pro nějaké z \in X, pak s \leq z (je nejmenší horní závorou)

Infimum

• největší dolní závora prvků x, y \in X
• prvek i \in X s vlastnostmi
  • i \leq x a i \leq y (je dolní závorou)
  • je-li z \leq x a z \leq y pro nějaké z \in X, pak z \leq i (je největší dolní závorou)

Duální POSET \mathcal P^{d} = (X, \mathcal P^d) k POSETu \mathcal P

• P^d = \{ (x,y) \mid (x, y) \in \, \leq \}
• Pokud pro POSET \mathcal P existuje Hasseův diagram, pak Hasseův diagram pro \mathcal P^d získáme jeho otočením "vzhůru nohama".
• Relace \mathcal P^d je inverzní k relaci \mathcal P.

TODO: Podposet