FAV-ZCU/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/08. Mirskyho a Dilworthova věta.md

Mirskyho a Dilworthova věta

Věta (Dilworthova)

• Nechť \mathcal P = (X, P) POSET a \text{width}(\mathcal P) = w.
• Pak existuje rozklad množiny X, X = C_{1} \cup C_{2} \cup \dots \cup C_{w}, kde C_{i}, i = 1 \dots, w je řetězec.
• Navíc, neexistuje rozklad množiny X na méně než w řetězců.

Věta (Mirskyho, duální Dilworthova)

• Nechť \mathcal P = (X, P) POSET a \text{height}(\mathcal P) = h.
• Pak existuje rozklad množiny X, X = A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{h}, kde A_{i}, i = 1\dots,h je antiřetězec.
• Navíc, neexistuje rozklad množiny X na méně než h antiřetězců.

Řetězce a antiřetězce

Mějme POSET (X, \leq), podmnožinu C \subseteq X nazveme řetězcem (řetízkem), pokud platí, že každé 2 různé prvky x, y \in C jsou porovnatelné.

Naopak podmnožinu A \subseteq X nazveme antiřetězcem (antiřetízkem), pokud jsou každé 2 různé prvky x, y \in A neporovatelné.

Výška POSETu

• označíme \text{height}(\mathcal P), je největší h takové, že existuje řetězec h prvků v \mathcal P

Šířka POSETu

• označíme \text{width}(\mathcal P), je největší w takové, že existuje antiřetězec w prvků v \mathcal P