Merge branch 'master' of https://git.znachor.cz/Znachor/FAV-ZCU
This commit is contained in:
commit
49d6848ab4
|
|
@ -36,71 +36,4 @@ Minimem (max, inf, sup) posloupnosti $(a_n)$ s oborem hodnot $H$ je minimem (max
|
|||
|
||||
#### Zjištění monotonie
|
||||
1) Tipnu a ověřím
|
||||
2) Otazníčková metoda
|
||||
|
||||
## Limita
|
||||
|
||||
### Vlastní limita
|
||||
|
||||
Posloupnost $(a_n)$ má vlastní limitu $a \in R$, pokud
|
||||
$\displaystyle \forall \epsilon \in R > 0 \ \ \ \exists n_{0} \in N \ \ \ \forall n \in N : n > n_{0} \implies |a_{n} - a| < \epsilon$
|
||||
|
||||
Píšeme $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a$ nebo $a_{n} \to a$
|
||||
|
||||
Pozn.: $a - \epsilon < a_{n} < a + \epsilon$
|
||||
- Pro jakoukoli šířku pásma existuje standardní hodnota, všechna následující $n$ mají $a_n$ uvnitř $\epsilon$-pásem
|
||||
|
||||
### Nevlastní limita
|
||||
|
||||
Posloupnost $(a_n)$ má nevlastní limitu $+\infty$, pokud
|
||||
|
||||
$\displaystyle \forall h > 0 \ \ \ \exists n_{0} \ \ \ \forall n \in N : n > n_{0} \implies a_{n} > h$
|
||||
|
||||
$\displaystyle \forall d < 0 \ \ \ \exists n_{0} \ \ \ \forall n \in N : n > n_{0} \implies a_{n} < d$
|
||||
|
||||
Píšeme
|
||||
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = +\infty$ nebo $a_{n} \to +\infty$
|
||||
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = -\infty$ nebo $a_{n} \to -\infty$
|
||||
|
||||
### Jednoznačnost limity
|
||||
|
||||
Každá posloupnost má nejvýše 1 limitu
|
||||
|
||||
### Algebra vlastních limit
|
||||
|
||||
Nechť $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a$ a $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } b_{n} = b$, pak
|
||||
1) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\alpha \times a_{n} + \beta \times b_{n}) = \alpha \times a + \beta \times b$, pokud je pravá strana definována,
|
||||
|
||||
2) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (a_{n} \times b_{n}) = a \times b$, pokud je pravá strana definována,
|
||||
|
||||
3) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\frac{a_{n}}{b_{n}}) = \frac{a}{b}$, pokud $b_{n} \neq 0$ pro všechna $n \in N$ a pokud je pravá strana definována
|
||||
|
||||
### Eulerovo číslo
|
||||
|
||||
- je definováno jako $\displaystyle e := \lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ = |"NV $1^\infty$"|
|
||||
- alternativní definice: $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$
|
||||
|
||||
## Konvergence a divergence
|
||||
|
||||
Řekněme, že $(a_n)$ je
|
||||
|
||||
| značka | typ | podmínka |
|
||||
| ------ | ----------------------- | -------------------------------- |
|
||||
| **K** | konvergentní | má-li vlastní / konečnou limitu |
|
||||
| **D** | divergentní | není-li konvergentní |
|
||||
| | divergentní k $+\infty$ | má-li nevlastní limitu $+\infty$ |
|
||||
| | divergentní k $-\infty$ | má-li nevlastní limitu $-\infty$ |
|
||||
|
||||
### Omezenost a limity
|
||||
1) Je-li posloupnost konvergentní (**K**), pak je i omezená (**O**)
|
||||
|
||||
2) Diverguje-li posloupnost k $+\infty$, pak je omezená pouze zdola (**OZ**)
|
||||
|
||||
3) Diverguje-li posloupnost k $-\infty$, pak je omezená pouze shora (**OS**)
|
||||
|
||||
Dále také
|
||||
1) Je-li $(a_n)$ monotónní (**M**) a omezená (**O**), pak je i konvergentní (**K**)
|
||||
|
||||
2) Je-li $(a_n)$ rostoucí (**R**) a omezená (**O**), pak $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = sup \ a_{n}$ a $min \ a_{n} = a_{1}$
|
||||
|
||||
3) Je-li $(a_n)$ klesající (**K**) a omezená (**O**), pak $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = inf \ a_{n}$ a $max \ a_{n} = a_{1}$
|
||||
2) Otazníčková metoda
|
||||
|
|
@ -1,5 +1,64 @@
|
|||
# Limita
|
||||
|
||||
### Vlastní
|
||||
### Vlastní limita
|
||||
|
||||
todo
|
||||
Posloupnost $(a_n)$ má vlastní limitu $a \in R$, pokud
|
||||
$$\displaystyle \forall \epsilon \in \mathbb{R} > 0 \quad \exists n_{0} \in \mathbb{N} \quad \forall n \in \mathbb{N} : n > n_{0} \implies |a_{n} - a| < \epsilon.$$
|
||||
|
||||
Píšeme $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a$ nebo $a_{n} \to a$.
|
||||
|
||||
Pozn.: $a - \epsilon < a_{n} < a + \epsilon$
|
||||
- Pro jakoukoli šířku pásma existuje standardní hodnota, všechna následující $n$ mají $a_n$ uvnitř $\epsilon$-pásem
|
||||
|
||||
### Nevlastní limita
|
||||
|
||||
Posloupnost $(a_n)$ má nevlastní limitu $+\infty$, pokud
|
||||
$$\displaystyle \forall h > 0 \quad \exists n_{0} \quad \forall n \in N : n > n_{0} \implies a_{n} > h$$
|
||||
$$\displaystyle \forall d < 0 \quad \exists n_{0} \quad \forall n \in N : n > n_{0} \implies a_{n} < d$$
|
||||
|
||||
Píšeme
|
||||
- $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = +\infty$ nebo $a_{n} \to +\infty$
|
||||
- $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = -\infty$ nebo $a_{n} \to -\infty$
|
||||
|
||||
### Jednoznačnost limity
|
||||
|
||||
Každá posloupnost má nejvýše 1 limitu.
|
||||
|
||||
### Algebra vlastních limit
|
||||
|
||||
Nechť $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a$ a $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } b_{n} = b$, pak
|
||||
1) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\alpha \times a_{n} + \beta \times b_{n}) = \alpha \times a + \beta \times b$, pokud je pravá strana definována,
|
||||
|
||||
2) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (a_{n} \times b_{n}) = a \times b$, pokud je pravá strana definována,
|
||||
|
||||
3) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\frac{a_{n}}{b_{n}}) = \frac{a}{b}$, pokud $b_{n} \neq 0$ pro všechna $n \in N$ a pokud je pravá strana definována.
|
||||
|
||||
### Eulerovo číslo
|
||||
|
||||
- je definováno jako $\displaystyle e := \lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ = |"NV $1^\infty$"|
|
||||
- alternativní definice: $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$
|
||||
|
||||
## Konvergence a divergence
|
||||
|
||||
Řekněme, že $(a_n)$ je
|
||||
|
||||
| značka | typ | podmínka |
|
||||
| ------ | ----------------------- | -------------------------------- |
|
||||
| **K** | konvergentní | má-li vlastní / konečnou limitu |
|
||||
| **D** | divergentní | není-li konvergentní |
|
||||
| | divergentní k $+\infty$ | má-li nevlastní limitu $+\infty$ |
|
||||
| | divergentní k $-\infty$ | má-li nevlastní limitu $-\infty$ |
|
||||
|
||||
### Omezenost a limity
|
||||
1) Je-li posloupnost konvergentní (**K**), pak je i omezená (**O**)
|
||||
|
||||
2) Diverguje-li posloupnost k $+\infty$, pak je omezená pouze zdola (**OZ**)
|
||||
|
||||
3) Diverguje-li posloupnost k $-\infty$, pak je omezená pouze shora (**OS**)
|
||||
|
||||
Dále také
|
||||
1) Je-li $(a_n)$ monotónní (**M**) a omezená (**O**), pak je i konvergentní (**K**)
|
||||
|
||||
2) Je-li $(a_n)$ rostoucí (**R**) a omezená (**O**), pak $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = sup \ a_{n}$ a $min \ a_{n} = a_{1}$
|
||||
|
||||
3) Je-li $(a_n)$ klesající (**K**) a omezená (**O**), pak $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = inf \ a_{n}$ a $max \ a_{n} = a_{1}$
|
||||
|
|
@ -77,7 +77,8 @@ dosadíme-li napravo $x = g^{-1}(y)$.
|
|||
| $\displaystyle\frac{dx}{1+x^2}$ | $\arctan(x) + C$ |
|
||||
| $\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{ 1-x^2 }}$ | $\arcsin(x) + C$ |
|
||||
|
||||
### vzorečky na typ s goniometrickými funkcemi (sin, cos)
|
||||
- $\int sin(x) * sin(y) \ dx = \frac{1}{2} \int(cos(y-x)-cos(x+y)) \ dx$
|
||||
- $\int sin(x) * cos(y) \ dx = \frac{1}{2} \int (sin(x+y)-sin(y-x)) \ dx$
|
||||
- $\int cos(x) * cos(y) \ dx = \frac{1}{2} \int (cos(x+y)+cos(y-x)) \ dx$
|
||||
### Vzorečky na typ s goniometrickými funkcemi (sin, cos)
|
||||
|
||||
- $\displaystyle\int \sin(x) \cdot \sin(y) \, dx = \frac{1}{2} \int(\cos(y-x)-\cos(x+y)) \, dx$
|
||||
- $\displaystyle\int \sin(x) \cdot \cos(y) \, dx = \frac{1}{2} \int (\sin(x+y)-\sin(y-x)) \, dx$
|
||||
- $\displaystyle\int \cos(x) \cdot \cos(y) \, dx = \frac{1}{2} \int (\cos(x+y)+\cos(y-x)) \, dx$
|
||||
Loading…
Reference in a new issue