Úprava 10. a 12. otázky a přidání 7. příkladu z DMA

KMA DMA/Otázky ke zkoušce/10. Booleovy algebry.md

@@ -2,7 +2,7 @@
 
 **Distributivní komplementární svaz** se nazývá **Booleův svaz** nebo **Booleova algebra**.
 
-Operace spojení $\wedge$ se značí symbolem $+$, operace průsek symbolem $\cdot$.
+Operace spojení $\vee$ se značí symbolem $+$, operace průsek $\wedge$ symbolem $\cdot$.
 
 Obsahuje $2^n$ prvků. (2, 4, 8, 16, ...)
 
@@ -27,12 +27,16 @@ Nechť $X$ je Booleova algebra, $a, b, c \in X$. Potom platí:
 ## Atom
 
 Nechť $X$ je Booleova algebra. Nenulový prvek $a \in X$ takový, že pro každý prvek $x \in X, x\neq a$ platí $x \wedge a = 0$ nebo $x \wedge a = a$, se nazývá atom algebry $X$.
+- tedy dolní hranice prvku $a$ a libovolného $x$ je tedy $0$ nebo $a$
 
 Atomy existují v každé Booleově algebře. Existovat nemusí pouze v nekonečných Booleových algebrách.
 
 Nechť $X$ je Booleova algebra, $x \in X$. Potom existují prvky $y, z \in X$ takové, že $y\neq x, z\neq x,y \vee z = x$ právě tehdy, když $x$ není ani nulový prvek ani atom $X$.
+- prvky $x, y, z$ jsou rozdílné a horní hranice $y, z$ je $x$ tehdy, pokud $x$ není nulový ani atom
 
 Nechť $X$ je konečná Booleova algebra a $x \in X$ je libovolný nenulový prvek, potom platí, že
 - $x = a_{1} \vee a_{2} \vee \dots \vee a_{k}$,
 
-kde $a_{1}, \dots, a_{k}$ jsou všechny atomy $X$, pro které $a_{i} \leq x, i =1, \dots, k$.
+kde $a_{1}, \dots, a_{k}$ jsou všechny atomy $X$, pro které $a_{i} \leq x, i =1, \dots, k$.
+
+TODO: 5. přednáška

KMA DMA/Otázky ke zkoušce/12. Booleovské funkce.md

@@ -1,7 +1,7 @@
 # Booleovské funkce
 
-**Definice**
-- Booleovská funkce n proměnných je libovolná funkce $f: B^n_{2} \to B_{2}$.
+
+**Definice**: Booleova funkce $n$ proměnných je libovolná funkce (zobrazení) $f: B^n_{2} \to B_{2}$ pro $n \geq 1$.
 
 Může jí být například Booleovská funkce dvou proměnných $+$ nebo  $\cdot$.
 
@@ -9,6 +9,11 @@ Množina $F_{n}$ všech booleovských funkcí n proměnných s uspořádáním $
 
 Základní booleovské funkce je možné kombinovat do složitějších funkcí.
 
+## Počítání
+
+- $f \vee g \space (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = f(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \vee g(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$
+- $f \wedge g \space (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = f(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \wedge g(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$
+- $\overline f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = \overline{f(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})}$
 ## Pravdivostní tabulky
 
 Zapisují se do tabulky, kde je jeden řádek pro každou kombinaci hodnot proměnných.
@@ -28,7 +33,7 @@ Zapisují se do tabulky, kde je jeden řádek pro každou kombinaci hodnot prom
 ## Booleovské polynomy
 
 **Booleův polynom** v proměnných $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ je každá Booleova funkce, v proměnných $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$, která vznikne podle následujících pravidel:
-1) konstanty 0 a 1, každá proměnná $x_{i}, (i=1,\dots,n)$ je Booleův polynom,
+1) konstanty 0 a 1, a každá proměnná $x_{i}, (i=1,\dots,n)$ je Booleův polynom,
 2) jsou-li $a, b$ Booleovy polynomy, potom i funkce $\overline a, a \vee b$ a $a \wedge b$ jsou Booleovy polynomy.
 
 Dva Booleovy polynomy jsou si **rovny**, pokud definují tutéž Booleovu funkci.
@@ -46,10 +51,14 @@ Polynomy ve tvaru $y_{1} \vee y_{2} \vee \dots \vee y_{n}$, resp. $y_{1} \wedge
 O Booleově polynomu, který je **spojením průsekových**, resp. **průsekem spojových** klauzulí říkáme, že je zapsán v **disjunktivní (spojové)** resp. **konjunktivní (průsekové)** **normální formě**.
 - značíme **DNF**, resp. **KNF**
 
++ DNF (spojová): $(x_{1} \wedge \overline{x_{2}}) \vee (x_{1} \wedge x_{3}) \vee (x_{1} \wedge x_{2} \wedge x_{3})$
++ KNF (průseková): $(x_{1} \vee x_{3}) \wedge (x_{2} \vee \overline{x_{3}}) \wedge (x_{1} \vee \overline{x_{2}} \vee \overline{x_{3}})$
+
 Jestliže navíc každá klauzule obsahuje literály všech proměnných, potom tyto formy nazýváme úplnými formami.
 - značíme **ÚDNF**, resp. **ÚKNF**
 
 Každou nekonstantní Booleovu funkci n proměnných lze vyjádřit Booleovým polynomem n proměnných v **úplné disjunktivní i konjunktivní normální formě**.
-- konstantní Booleova funkce
-	- 0 ... konjunktivní (kontradikce)
-	- 1 ... disjunktivní (tautologie)
+
+Pozn.: Konstantní Booleova funkce znamená, že funkce nabývá stále hodnoty 0 nebo stále hodnoty 1. Potom lze udělat pouze jednu úplnou normální formu:
+- pro 0 konjunktivní (kontradikce)
+- pro 1 disjunktivní (tautologie)

KMA DMA/Příklady/00. Písemná část.md

@@ -0,0 +1,17 @@
+# Písemná část zkoušky
+
+4 úlohy z témat + 4 definice nebo znění vět (90 minut). (Z pojmové části je nutné získat alespoň jeden bod.)
+
+Homogenní rekurentní rovnice (stanovení řešení)
+
+Modulární počítání (hodnost matice, soustava rovnic, Eukleidův algoritmus, stanovení inverzního prvku)
+
+Relace (vlastnosti, reflexívně-tranzitivní uzávěr)
+
+Uspořádání, svazy, Booleovy algebry (suprema, infima, distributivita, komplementarita, Hasseův diagram)
+
+Počet koster grafu (Laplaceova matice, incidenční matice orientace grafu)
+
+Booleovské funkce (ÚDNF, ÚKNF, Quineho-McCluskeyho algoritmus)
+
+(Vážená) vzdálenost v grafech (mocninná metoda, Dijkstrův algoritmus, Floydův-Warshallův algoritmus)

KMA DMA/Příklady/07. Booleovské funkce.md

@@ -0,0 +1,34 @@
+# Nalezení UDNF a UKNF
+
+Př.: $f(x, y) = [\overline{(\overline{x} \wedge y)} \wedge \overline{x}] \vee y = [\overline{(\overline{x} \cdot y)} \cdot x] + y$
+
+## 1. Tabulkou
+
+| $x$ | $y$ | $\overline{x} \wedge y$ | $a = \overline{(\overline{x} \wedge y)}$ | $b = a \wedge \overline{x}$ | $b \vee y$ |
+| --- | --- | ----------------------- | ---------------------------------------- | --------------------------- | ---------- |
+| 0   | 0   | 0                       | 1                                        | 1                           | **1**      |
+| 0   | 1   | 1                       | 0                                        | 0                           | **1**      |
+| 1   | 0   | 0                       | 1                                        | 0                           | 0          | 
+| 1   | 1   | 0                       | 1                                        | 0                           | **1**      |
+
+Postup
+1. vybereme řádky, kde funkce vyšla **1** (**ÚDNF**) nebo **0** (**ÚKNF**)
+2. zapisujeme jednotlivé klauzule podle prvků ($x, y, z, \dots$) v řádcích
+	- prvek zapíšeme jako komplement, pokud je rovna **0** (**ÚDNF**) nebo **1** (**ÚKNF**)
+	- když je výsledek funkce **1**, čáru napíšeme nad prvkem s hodnotou **0**
+
+Výsledek
+- ÚDNF: $f_{D}(x, y) = (\overline{x} \wedge \overline{y}) \vee (\overline{x} \wedge y) \vee (x \wedge y)$ 
+- ÚKNF: $f_{K}(x, y) = (\overline{x} \vee y)$
+
+## 2. Pomocí Booleovského kalkulusu
+
+Využijeme pravidel Booleovského kalkulusu a pokusíme se funkci zjednodušit a roznásobit.
+
+$f(x, y) = [\overline{(\overline{x} \wedge y)} \wedge \overline{x}] \vee y = [(x \vee \overline{y}) \wedge \overline{x}] \vee y = [(x \wedge \overline{x}) \vee (\overline{y} \wedge \overline{x})] \vee y = (\overline{y} \wedge \overline{x}) \vee y = (\overline{y} \vee y) \wedge (\overline{x} \vee y) = \overline{x} \vee y$
+- máme jedinou spojovou klauzuli, ve které je spojení, jedná se tedy o ÚKNF
+
+Zkusíme získat i ÚDNF:
+
+$f(x, y) = (\overline{y} \wedge \overline{x}) \vee y = (\overline{y} \wedge \overline{x}) \vee (y \wedge 1) = (\overline{y} \wedge \overline{x}) \vee [y \wedge (\overline{x} \vee x)] = (\overline{y} \wedge \overline{x}) \vee (\overline{x} \wedge y) \vee (x \wedge y)$
+- máme spojení 3 průsekových klauzulí, jedná se tedy o ÚDNF

KMA DMA/Příklady/Booleovské funkce.md

@@ -0,0 +1,34 @@
+# Nalezení UDNF a UKNF
+
+Př.: $f(x, y) = [\overline{(\overline{x} \wedge y)} \wedge \overline{x}] \vee y = [\overline{(\overline{x} \cdot y)} \cdot x] + y$
+
+## 1. Tabulkou
+
+| $x$ | $y$ | $\overline{x} \wedge y$ | $a = \overline{(\overline{x} \wedge y)}$ | $b = a \wedge \overline{x}$ | $b \vee y$ |
+| --- | --- | ----------------------- | ---------------------------------------- | --------------------------- | ---------- |
+| 0   | 0   | 0                       | 1                                        | 1                           | **1**      |
+| 0   | 1   | 1                       | 0                                        | 0                           | **1**      |
+| 1   | 0   | 0                       | 1                                        | 0                           | 0          | 
+| 1   | 1   | 0                       | 1                                        | 0                           | **1**      |
+
+Postup
+1. vybereme řádky, kde funkce vyšla **1** (**ÚDNF**) nebo **0** (**ÚKNF**)
+2. zapisujeme jednotlivé klauzule podle prvků ($x, y, z, \dots$) v řádcích
+	- prvek zapíšeme jako komplement, pokud je rovna **0** (**ÚDNF**) nebo **1** (**ÚKNF**)
+	- když je výsledek funkce **1**, čáru napíšeme nad prvkem s hodnotou **0**
+
+Výsledek
+- ÚDNF: $f_{D}(x, y) = (\overline{x} \wedge \overline{y}) \vee (\overline{x} \wedge y) \vee (x \wedge y)$ 
+- ÚKNF: $f_{K}(x, y) = (\overline{x} \vee y)$
+
+## 2. Pomocí Booleovského kalkulusu
+
+Využijeme pravidel Booleovského kalkulusu a pokusíme se funkci zjednodušit a roznásobit.
+
+$f(x, y) = [\overline{(\overline{x} \wedge y)} \wedge \overline{x}] \vee y = [(x \vee \overline{y}) \wedge \overline{x}] \vee y = [(x \wedge \overline{x}) \vee (\overline{y} \wedge \overline{x})] \vee y = (\overline{y} \wedge \overline{x}) \vee y = (\overline{y} \vee y) \wedge (\overline{x} \vee y) = \overline{x} \vee y$
+- máme jedinou spojovou klauzuli, ve které je spojení, jedná se tedy o ÚKNF
+
+Zkusíme získat i ÚDNF:
+
+$f(x, y) = (\overline{y} \wedge \overline{x}) \vee y = (\overline{y} \wedge \overline{x}) \vee (y \wedge 1) = (\overline{y} \wedge \overline{x}) \vee [y \wedge (\overline{x} \vee x)] = (\overline{y} \wedge \overline{x}) \vee (\overline{x} \wedge y) \vee (x \wedge y)$
+- máme spojení 3 průsekových klauzulí, jedná se tedy o ÚDNF