Doplnění 7. a 9. otázky z DMA

KMA DMA/Otázky ke zkoušce/07. Částečně uspořádané množiny.md

@@ -12,6 +12,22 @@ Nechť $x, y$ jsou dva prvky uspořádané množiny $(X, \leq)$. Platí-li $x \l
 
 Uspořádání $\leq$ se často označuje jako **částečné** (POSET), protože definice připouští existenci dvojic neporovnatelných prvků.
 
+## Hasseův diagram
+
+Hasseův diagram uspořádané množiny $(X, \leq)$ je znázornění, ve kterém **pro každou dvojici prvků** $x, y \in X$ platí $x \triangleleft y$, právě když $x, y$ jsou spojeny čarou a prvek $y$ **je nakreslen výše** než $x$.
+
+Spojnice není nutná opatřovat šipkou, protože směr je jednoznačně dán.
+
+**Nezakreslujeme**
+- relace, které jsou v relaci díky tranzitivitě
+- smyčky u vrcholů (reflexivita)
+### Bezprostřední předchůdce
+
+Nechť $x, y$ jsou prvky uspořádané množiny $(X, \leq)$. Prvek $x$ je **bezprostředním předchůdcem** prvku $y$ (psáno $x \triangleleft y$), pokud $x \leq y$ a **neexistuje žádné** $z \in X - \{x,y\}$, pro které by platilo $x \leq z \leq y$.
+
+Na vztah $\triangleleft$ se můžeme dívat jako na relaci na množině $X$ (tzv. **relace bezprostředního
+předcházení**). Tato relace obecně není reflexívní ani tranzitivní.
+
 ## Základní pojmy
 
 **Největší prvek**
@@ -35,12 +51,16 @@ Uspořádání $\leq$ se často označuje jako **částečné** (POSET), protož
 - může jich být více
 
 **Infimum**
-- TODO
+- největší dolní závora prvků $x, y \in X$
+- prvek $i \in X$ s vlastnostmi
+	- $i \leq x$ a $i \leq y$ (je dolní závorou)
+	- je-li $z \leq x$ a $z \leq y$ pro nějaké $z \in X$, pak $z \leq i$ (je největší dolní závorou)
 
 **Supremum**
-- TODO
-
-TODO
+- nejmenší horní závora prvků $x, y \in X$
+- prvek $s \in X$ s vlastnostmi
+	- $x \leq s$ a $y \leq s$ (je horní závorou)
+	- je-li $x \leq z$ a $y \leq z$ pro nějaké $z \in X$, pak $s \leq z$ (je nejmenší horní závorou)
 
 **Výška POSETu**
 - označíme $\text{height}(\mathcal P)$, je největší $h$ takové, že existuje řetězec $h$ prvků v $\mathcal P$
@@ -58,4 +78,4 @@ TODO
 TODO
 
 **Řetěz**
-- Řetězem délky $k$ nad abecedou  $\Gamma = \{ \sigma_{1}, \sigma_{2}, \dots, \sigma_{n} \}$ velikosti $n$ budeme rozumět posloupnost $$
+- Řetězem délky $k$ nad abecedou  $\Gamma = \{ \sigma_{1}, \sigma_{2}, \dots, \sigma_{n} \}$ velikosti $n$ budeme rozumět posloupnost 

KMA DMA/Otázky ke zkoušce/09. Svazy.md

@@ -1,25 +1,32 @@
 # Svazy
 
-Svaz je **uspořádaná množiny** $(X, \leq)$, ve které existuje **supremum** i **infimum** pro **libovolnou dvojici prvků**.
+Svaz je **uspořádaná množina** $(X, \leq)$, ve které existuje **supremum** i **infimum** pro **každou dvojici prvků**.
 
 Pro libovolné dva prvky $a, b$ svazu $(X, \leq)$ platí
 - $a \leq b$ právě když $a \vee b = b$ právě když $a \wedge b = a$.
 
+| popis                      | inf/sup          | značení          |
+| -------------------------- | ---------------- | ---------------- |
+| $a$ je dolní závora $a, b$ | $a = \inf(a, b)$ | $a = a \wedge b$ |
+| $b$ je horní závora $a, b$ | $b = \sup(a, b)$ | $b = a \vee b$   |
+
 ## Princip duality
 
-Když v libovolném pravdivém tvrzení prohodíme průsek a spojení (a uspořádání nahradíme inverzním), dostaneme opět pravdivé tvrzení.
+Když v libovolném pravdivém tvrzení **prohodíme průsek a spojení** (a uspořádání nahradíme inverzním), dostaneme opět pravdivé tvrzení.
 
 ## Operace
 
 **Supremum**
 - značíme $x \vee y$
-- největší dolní závora obou prvků
+- nejmenší horní závora obou prvků
 - spojení (sjednocení) dvou množin
 
 **Infimum**
 - značíme $x \wedge y$
-- nejmenší horní závora obou prvků
-- průnik dvou množin
+- největší dolní závora obou prvků
+- průsek (průnik) dvou množin
+
+## Vlastnosti
 
 Mejmě svaz $X$ a $x, y, z \in X$. Potom platí:
 
@@ -32,10 +39,13 @@ Mejmě svaz $X$ a $x, y, z \in X$. Potom platí:
 
 ## Distributivní svaz
 
-**Definice**
-- Řekneme, že svaz $(X, \leq)$ je distributivní, jestliže $\forall \, x, y, z \in X$ je $x \wedge (y \vee z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z)$.
+Řekneme, že **svaz** $(X, \leq)$ je **distributivní**, jestliže
+- $\forall \, x, y, z \in X$ je $x \wedge (y \vee z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z)$.
+
+Z principu duality v distributivním svazu platí rovněž $x \vee (y \wedge z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z)$
+
+### Birkhoffovo kritérium distributivity
 
-**Birkhoffovo kritérium distributivity**
 - Svaz $(X, \leq)$ je distributivní právě když neobsahuje jako podsvaz $X_{1}$ ani $X_{2}$.
 
 ![[_assets/distributivni_svaz.png]]
@@ -44,6 +54,8 @@ Mejmě svaz $X$ a $x, y, z \in X$. Potom platí:
 
 Nechť $(X, \leq)$ je svaz a $Y \subset X$. Řekneme, že POSET $(Y, \leq)$ je podsvazem svazu $(X, \leq)$, jestliže operace spojení a průseku v $Y$ jsou zúženími operací spojení a průseku v $X$.
 
+Vyškrtnu infimum a supremum, pokud alespoň jeden z prvků chybí v podsvazu a zbytek tabulky by měl stále platit.
+
 ## Konečný svaz
 
 Je-li $(X, \leq)$ konečný svaz (tj. $|X|$ je konečný), potom v $X$ existuje nejmenší i největší prvek.