Doplnění 1., 2., 3., 5. a 6. otázky z DMA

KMA DMA/Otázky ke zkoušce/01. Relace, zobrazení a funkce.md

@@ -3,10 +3,10 @@
 Mějme dvě množiny $X, Y$ a představme si, že každý prvek $x \in X$ může (a nemusí) být  ve vztahu $R$ s libovolným počtem prvků $y \in Y$. Na tento vztah nejsou kladeny žádné další podmínky.
 - tento vztah lze popsat jako výčet všech dvojic $(x, y)$ prvků, které spolu jsou ve vztahu $R$
 
-Jelikož je kartézský součin definován jako **množina** všech **uspořádaných dvojic** s prvním prvek z množiny $X$ a druhým z množiny $Y$, definujeme relaci takto:
-
 ### Definice
 
+Jelikož je kartézský součin definován jako **množina** všech **uspořádaných dvojic** s prvním prvkem z množiny $X$ a druhým z množiny $Y$, definujeme relaci takto:
+
 Relace z množiny $X$ do množiny $Y$ je libovolná podmnožina $R$ kartézského součinu $X \times Y$.
 
 Jedná se o relaci **binární**, jelikož určuje vztah mezi dvěma prvky.
@@ -28,19 +28,6 @@ Jedná se o relaci **binární**, jelikož určuje vztah mezi dvěma prvky.
 	- matice $X \times Y$, kde na horizontální ose jsou prvky $X$ a na vertikální ose $Y$
 	- body jsou vybarveny pouze na místech matice, kde jsou prvky v relaci R
 
-### Vlastnosti relací
-
-Relace $R$ na množině $X$ je
-- **reflexivní**, pokud pro každé $x \in X$ platí $x \, R \, x$,
-- **symetrická**, pokud pro každé $x, y \in X$ platí
-	- $x \, R \, y \implies y \, R \, x$,
-- **slabě antisymetrická**, pokud pro každé $x, y \in X$ platí
-	- $x \, R \, y$ a $y \, R \, x \implies x = y$,
-- **tranzitivní**, pokud pro každé $x, y, z \in X$ platí
-	- $x \, R \, y$ a $y \, R \, z \implies x \, R \, z$,
-- **ekvivalentní**, pokud je reflexivní, symetrická a tranzitivní,
-- **tolerantní**, pokud je reflexivní a symetrická.
-
 ### Skládání relací
 
 **Definice**
@@ -61,10 +48,16 @@ Věta o asociativitě skládání relací
 
 # Zobrazení, funkce
 
-**Zobrazení** (nebo také **funkce**) množiny $X$ do množiny $Y$ je **relace** $f \subset X \times Y$, pro kterou platí, že pro každý prvek $x \in X$ existuje právě jeden prvek $y \in X$ tak, že $(x, y) \in f$. Skutečnost, že $f$ je zobrazením $X$ do $Y$, zapisujeme jako $f: X \to Y$.
+**Zobrazení** (nebo také **funkce**) množiny $X$ do množiny $Y$ je **relace** $f \subset X \times Y$, pro kterou platí, že **pro každý prvek** $x \in X$ **existuje právě jeden prvek** $y \in Y$ tak, že $(x, y) \in f$. Skutečnost, že $f$ je zobrazením $X$ do $Y$, zapisujeme jako $f: X \to Y$.
 
-**Druhy zobrazení**
-- Zobrazení $f: X \to Y$ je
-	- **prosté**, pokud každé $y \in Y$ má nejvýše jeden vzor při zobrazení $f$,
-	- **na**, pokud každé $y \in Y$ má alespoň jeden vzor při zobrazení $f$,
-	- **vzájemně jednoznačné** (nebo **bijekce**), pokud je prosté a na.
+## Druhy zobrazení
+
+Zobrazení $f: X \to Y$ je
+- **prosté**, pokud každé $y \in Y$ má nejvýše jeden vzor při zobrazení $f$,
+- **na**, pokud každé $y \in Y$ má alespoň jeden vzor při zobrazení $f$,
+- **vzájemně jednoznačné** (nebo **bijekce**), pokud je **prosté** a **na**, tedy
+	- každé $y \in Y$ má právě jeden vzor při zobrazení $f$.
+
+## Skládání zobrazení
+
+Máme zobrazení $f : X \to Y, g : Y \to Z$, výsledná relace $f \circ g$ je zobrazení $X$ do $Z$, pro jehož hodnoty platí $(f \circ g)(x) = g(f(x))$.

KMA DMA/Otázky ke zkoušce/02. Binární relace na množině.md

@@ -0,0 +1,17 @@
+# Binární relace na množině
+
+Nechť $X, Y$ jsou množiny. **Binární relace** R z množiny $X$ do množiny $Y$ nazveme podmnožinou Kartézského součinu $X \times Y$. Píšeme $x \, R \, y \iff (x, y) \in R$. Speciálně, je-li $X = Y$, řekneme, že $R$ je **relací na množině** $X$.
+
+### Vlastnosti
+
+Relace $R$ na množině $X$ je
+- **reflexivní**, pokud pro každé $x \in X$ platí $x \, R \, x$,
+- **symetrická**, pokud pro každé $x, y \in X$ platí
+	- $x \, R \, y \implies y \, R \, x$,
+- **slabě antisymetrická**, pokud pro každé $x, y \in X$ platí
+	- $x \, R \, y$ a $y \, R \, x \implies x = y$,
+- **tranzitivní**, pokud pro každé $x, y, z \in X$ platí
+	- $x \, R \, y$ a $y \, R \, z \implies x \, R \, z$,
++ **ekvivalentní**, pokud je reflexivní, symetrická a tranzitivní,
++ **tolerantní**, pokud je reflexivní a symetrická.
+

KMA DMA/Otázky ke zkoušce/03. Ekvivalence a rozklad množiny, Stirlingova čísla.md

@@ -1,12 +1,23 @@
 # Ekvivalence a rozklad množiny
 
-**Ekvivalence**
-- Ekvivalence na množině $X$ je relace $R$ na množině $X$, která je reflexivní, symetrická a tranzitivní.
+## Ekvivalence
 
-**Třídy rozkladu**
-- Nechť $X$ a $I$ jsou množiny. (Neuspořádaný) soubor podmnožin $X_{i}: i \in I$ množiny $X$ je **rozklad množiny** $X$, pokud množiny $X_{i}$ jsou neprázdné, navzájem disjunktní a jejich sjednocením je celá množina $X$. Množiny $X_{i}$ nazýváme **třídy rozkladu** $X_{i}: i \in I$.
-+ Soubor $S = \{\{1, 3\}, \{6\}, \{2, 4, 5\}\}$, je například rozkladem množiny $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, zatímco soubory $\{\{1, 2, 3\}, \{1, 4, 5\}, \{1, 5, 6\}\}$ a $\{\{1, 2\}, \{3, 4, 5\}\}$ nikoli. V rozkladu nezáleží na pořadí tříd.
+Ekvivalence na množině $X$ je relace $R$ na množině $X$, která je reflexivní, symetrická a tranzitivní.
+## Třídy rozkladu
 
+Nechť $X$ a $I$ jsou množiny. (Neuspořádaný) soubor podmnožin $X_{i}: i \in I$ množiny $X$ je **rozklad množiny** $X$, pokud množiny $X_{i}$ jsou **neprázdné**, **navzájem disjunktní** (nemají společné prvky) a **jejich sjednocením je celá množina** $X$. Množiny $X_{i}$ nazýváme **třídy rozkladu** $X_{i}: i \in I$.
+
+- soubor podmnožin = **rozklad množiny**
+- jednotlivé množiny = **třídy rozkladu**
+
+![[_assets/rozklady.png]]
+
+Soubor $S = \{\{1, 3\}, \{6\}, \{2, 4, 5\}\}$, je například rozkladem množiny $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, zatímco soubory $\{\{1, 2, 3\}, \{1, 4, 5\}, \{1, 5, 6\}\}$ a $\{\{1, 2\}, \{3, 4, 5\}\}$ nikoli. V rozkladu nezáleží na pořadí tříd.
+
+## Třídy ekvivalence
+
+Je-li $\sim$ ekvivalence, pak se třídy příslušného rozkladu nazývají **třídy ekvivalence** $\sim$.
+- Pokud je relace ekvivalencí, třídy rozkladu nazveme třídami ekvivalence.
 # Stirlingova čísla
 
 **Počet rozkladů n-prvkové množiny**

KMA DMA/Otázky ke zkoušce/05. Modulární počítání.md

@@ -12,11 +12,39 @@ Ekvivalence $\sim$ na množině $X$ je relace na $X$, která je reflexivní, sym
 
 Ekvivalence, která zachovává operace definované na množině, se nazývá **kongruence**. Jedna z takových kongruencí je například kongruence modulo $p$.
 
-**Definice**
-- Nechť $p \geq 1$ je přirozené číslo. Definujme na množině všech celých čísel relaci $\equiv$ (kongruenci modulo $p$) předpisem $x \equiv y$, pokud $p$ dělí rozdíl $x - y$.
-
-Zapisujeme $x \equiv y \quad (\text{mod } p)$.
-
 Pro $a \in \mathbb{Z}_{n}$ rozumíme opačným prvkem prvek $x \in \mathbb{Z}_{n}$ takový, že řeší rovnici $a \cdot x \equiv 1 \quad (\text{mod } n)$. Značíme jej $-a$.
 
-TODO
+## Kongruence modulo $p$
+
+Motivace: při počítání hodin je pro nás obvykle 13 hodin to stejné, jako 1 hodina.
+
+**Definice**: Mějme $p \geq 1$ a celá čísla $a, b \in \mathbb{Z}$. Relaci $\equiv (\text{mod }p)$ na množině $\mathbb{Z}$ nazveme **kongruencí modulo** $p$, kterou značíme $a \equiv b \space (\text{mod }5)$, jestliže $n$ dělí $b - a$.
+- předpis: $a \equiv b \space (\text{mod }p) \iff (b - a) \text{ je dělitelné } p$
+
+**Příklad**: Z hodin víme, že $21 \equiv 9 \space (\text{mod }12)$. Zkouška podle definice: $9−21 = −12$, což je dělitelné dvanácti. Jiný příklad: $(-2) \equiv 13 \space (\text{mod }5)$, protože $13 - (-2) = 15$, což je dělitelné pěti.
+
+### Zbytkové třídy
+
+Kongruence modulo $p$ je ekvivalence, její třídy ekvivalence nazýváme **zbytkové třídy** a označujeme $\mathbb{Z}_{p}(i), i = 0, \dots, p-1$.
+
+Každá z $p$ tříd této ekvivalence je **tvořena všemi čísly**, která **při dělení číslem** $p$ dávají **tentýž zbytek**.
+
+**Operace**: Na množině $\mathbb{Z}_{p}$ definujeme operace $\oplus$ a $\otimes$ předpisem:
+- $\mathbb{Z}_{p}(i) \oplus \mathbb{Z}_{p}(j) = \mathbb{Z}_{p}(i+j)$
+- $\mathbb{Z}_{p}(i) \otimes \mathbb{Z}_{p}(j) = \mathbb{Z}_{p}(ij)$
+
+Nechť $p \geq 1$ je přirozené číslo. Potom pro každé prvky $a, b, c \in \mathbb{Z}_{p}$ platí:
+1) komutativita: $\quad a \oplus b = b \oplus a, \quad a \otimes b = b \otimes a$,
+2) asociativita: $\quad (a \oplus b)  \oplus c = a \oplus (b \oplus c), \quad (a \otimes b) \otimes c = a \otimes (b \otimes c)$,
+3) neutrální prvek: $\quad a \oplus 0 = a, \quad a \otimes 1 = a$,
+4) opační prvek: $\quad \exists \, (-a) \in \mathbb{Z}_{p}, \quad a \oplus (-a) = 0$,
+5) distributivita: $\quad a \otimes (b \oplus c) = (a \otimes b) \oplus (a \otimes c)$,
+
+kde $0 = \mathbb{Z}_{p}(0)$ a $1 = \mathbb{Z}_{p}(1)$.
+## Aritmetika modulo $p$
+
+**Definice**
+- Nechť $p \geq 1$ je přirozené číslo. Pro každou zbytkovou třídu $\mathbb{Z}_{p}$ vybereme jednoho **reprezentanta**, tedy prvek v intervalu $\langle 0, p-1 \rangle$.
+- Množinu všech takových reprezentantů nazveme **úplnou soustavou zbytků modulo** $p$.
+- Operace $\oplus$ a $\otimes$ použité na úplné soustavě zbytků modulo $p$ nazveme **aritmetikou modulo** $p$.
+

KMA DMA/Otázky ke zkoušce/06. Grupy a tělesa.md

@@ -1,18 +1,29 @@
 # Grupa
 
-**Grupa** $G$ je **množina** $M$ spolu s **asociativní binární operací** $*$, ve které existuje
+**Grupa** $G$ je **množina** $M$ spolu s **asociativní binární operací** $\oplus$, ve které existuje
 1) neutrální prvek
-	- $\exists \, e \in G : \forall \, x \in G : x \circ e = x = e \circ x$
+	- $\exists \, e \in G : \forall \, x \in G : x \oplus e = x = e \oplus x$
 2) prvek $x^{-1}$ inverzní ke každému prvku
-	- $\forall \, x \in G : \exists \, x^{-1} \in G : x \circ x^{-1} = e$
+	- $\forall \, x \in G : \exists \, x^{-1} \in G : x \oplus x^{-1} = e$
 
-Pokud je **operace** $*$ navíc **komutativní**, jedná se o **komutativní** nebo **abelovskou grupu**.
+Pokud je **operace** $\oplus$ navíc **komutativní** (), jedná se o **komutativní** nebo **Abelova grupu**.
 
-Grupa se značí jako $G(M, *)$.
+Grupa se značí jako $G(M, \oplus)$.
 
 # Těleso
 
-Množina $M$ spolu s operací $\oplus$ tvoří komutativní grupu s neutrálním prvkem $0$, a nechť na množině $M - \{0\}$ je určena další binární operace $\otimes$. Potom $(M, \oplus, \otimes)$ je těleso, pokud $(M - \{0\}, \otimes)$ je rovněž komutativní grupa a navíc platí distributivní zákon:
-- $x \otimes (y \oplus z) = (x \otimes y) \oplus (x \otimes z)$ pro každé $x, y, z \in M$.
+Množina $M$ s operacemi $\oplus$ a $\otimes$ takovými, že
+1) množina $M$ s operací $\oplus$ je Abelova grupa,
+2) množina $M \setminus \{ n \}$ s operací $\otimes$ je Abelova grupa, kde $n$ je neutrální (nulový) prvek při operaci $\oplus$,
+3) platí distributivita - $\forall \, x, y, z \in M$ je $x \otimes (y \oplus z) = (x \otimes y) \oplus (x \otimes z)$
 
-Mezi tělesa patří **množiny** všech racionálních, reálných a komplexních čísel, vždy se standardními operacemi **sčítání** a **násobení**.
+se nazývá **těleso** a značí se $(M, \oplus, \otimes)$.
+
+Mezi tělesa patří **množiny** všech racionálních, reálných a komplexních čísel, vždy se standardními operacemi **sčítání** a **násobení**.
+
+## Inverzní prvek
+
+**Inverzní prvek** $x^{-1}$ k prvku $x$ je prvek, pro který platí $x^{-1} \oplus x = e$, kde $e$ je neutrální prvek (tedy 0).
+
+Nechť $p \geq 1$ a $r \in \mathbb{Z}_{p}, r \neq 0$. K prvku $r$ existuje v $\mathbb{Z}_{p}$ inverzní prvek právě tehdy, když čísla $p, r$ jsou nesoudělná.
+- Tedy $\mathbb{Z}_{p}$ je těleso právě, když $p$ je prvočíslo.