Znachor/FAV-ZCU
2
3
Fork 0
Code Issues Pull requests Releases Activity
FAV-ZCU/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/06. Grupy a tělesa.md

1.4 KiB
Raw Blame History

Grupa

Grupa G je množina M spolu s asociativní binární operací \oplus, ve které existuje

  1. neutrální prvek
    • \exists \, e \in G : \forall \, x \in G : x \oplus e = x = e \oplus x
  2. prvek x^{-1} inverzní ke každému prvku
    • \forall \, x \in G : \exists \, x^{-1} \in G : x \oplus x^{-1} = e

Pokud je operace \oplus navíc komutativní (), jedná se o komutativní nebo Abelova grupu.

Grupa se značí jako G(M, \oplus).

Těleso

Množina M s operacemi \oplus a \otimes takovými, že

  1. množina M s operací \oplus je Abelova grupa,
  2. množina M \setminus \{ n \} s operací \otimes je Abelova grupa, kde n je neutrální (nulový) prvek při operaci \oplus,
  3. platí distributivita - \forall \, x, y, z \in M je x \otimes (y \oplus z) = (x \otimes y) \oplus (x \otimes z)

se nazývá těleso a značí se (M, \oplus, \otimes).

Mezi tělesa patří množiny všech racionálních, reálných a komplexních čísel, vždy se standardními operacemi sčítání a násobení.

Inverzní prvek

Inverzní prvek x^{-1} k prvku x je prvek, pro který platí x^{-1} \oplus x = e, kde e je neutrální prvek (tedy 0).

Nechť p \geq 1 a r \in \mathbb{Z}_{p}, r \neq 0. K prvku r existuje v \mathbb{Z}_{p} inverzní prvek právě tehdy, když čísla p, r jsou nesoudělná.

  • Tedy \mathbb{Z}_{p} je těleso právě, když p je prvočíslo.