Úprava 14-17. otázky z DMA
This commit is contained in:
parent
f351299831
commit
7570df6460
|
|
@ -1,49 +1,93 @@
|
|||
# Grafy
|
||||
|
||||
**Graf** $G$ je dvojice $G = (V, E)$, kde $V$ je konečná množina a $E \subset \left({V \atop 2}\right)$, přičemž
|
||||
**Graf** $G$ je dvojice $G = (V, E)$, kde $V$ je konečná množina a $E \subseteq \left({V \atop 2}\right)$, přičemž
|
||||
- $\left({V \atop 2}\right) = \{\{x,y\}: x,y\in V\text{ a } x\neq y\}$
|
||||
|
||||
je množina všech dvouprvkových množin (neuspořádaných dvojic) prvků množiny $V$.
|
||||
|
||||
- $V(G)$ - prvky množiny $V$ - vrcholy (uzly) grafu $G$
|
||||
- $V(E)$ - prvky množiny $E$ - hrany grafu $G$
|
||||
- $V(G)$ - prvky množiny $V$ - **vrcholy** (uzly) grafu $G$
|
||||
- $E(G)$ - prvky množiny $E$ - **hrany** grafu $G$
|
||||
|
||||
Vrcholy $x,y \in V$ jsou sousední, pokud $\{x,y\}\in E$.
|
||||
|
||||
**Faktor grafu** $G$ je libovolný jeho podgraf, jehož množina vrcholů je $V(G)$. Faktor je vlastní, je-li různý od grafu $G$.
|
||||
### Podgraf
|
||||
|
||||
**Rovnost grafů** $G_{1} = G_{2}$
|
||||
- $G_{1} = (V_{1}, E_{1}), G_{2} = (V_{2}, E_{2})$, pokud $V_{1} = V_{2}, E_{1} = E_{2}$
|
||||
Mějme graf $G$, kde graf $H$ je
|
||||
- podgrafem $G$, pokud platí
|
||||
- $V(H) \subseteq V(G), \quad E(H) \subseteq E(G)$
|
||||
- je to graf $G$, od kterého odebereme hrany a vrcholy
|
||||
- indukovaným podgrafem $G$, pokud platí
|
||||
- $V(H) \subseteq V(G), \quad E(H) = E(G) \cap {V(H) \choose 2}$
|
||||
- graf $G$ s odebranými vrcholy a všemi hranamy k nim připojeným
|
||||
### Faktor grafu
|
||||
|
||||
## Stupeň vrcholu
|
||||
**Faktor grafu** $G$ je libovolný jeho podgraf $H$, pro který platí, že množina vrcholů $V(G) = V(H)$ a množina hran $E(G) \subseteq E(H)$. Faktor $H$ je **vlastní**, je-li různý od grafu $G$.
|
||||
|
||||
**Stupeň vrcholu** v grafu $G$ je počet gran grafu $G$, které obsahují vrchol $v$. Značí se $d_{G}(v)$.
|
||||
- V grafu o n vrcholech je stupeň každého vrcholu nejvýše $n-1$.
|
||||
### Rovnost grafů $G_{1} = G_{2}$
|
||||
|
||||
Grafy $G_{1} = (V_{1}, E_{1}), G_{2} = (V_{2}, E_{2})$ jsou si rovny, pokud $V_{1} = V_{2}, E_{1} = E_{2}$
|
||||
|
||||
### Stupeň vrcholu
|
||||
|
||||
**Stupeň vrcholu** v grafu $G$ je počet hran grafu $G$, které obsahují vrchol $v$. Značí se $d_{G}(v)$.
|
||||
|
||||
Obvykle značíme $n = \vert V(G) \vert$ a toto číslo nazýváme **řádem** grafu $G$ (počet vrcholů), a $m = \vert E(G) \vert$ nazýváme **velikostí** grafu $G$ (počet hran).
|
||||
- V grafu o $n$ vrcholech je stupeň každého vrcholu nejvýše $n-1$.
|
||||
- V každém grafu platí, že $\sum_{v \in V(G)} d_{G}(v) = 2m$.
|
||||
- Důsledek: V každém grafu je počet vrcholů lichého stupně sudý.
|
||||
|
||||
## Neorientovaný graf
|
||||
|
||||
- hrany jsou definovány jako neuspořádané dvojice vrcholů
|
||||
- odpovídá relaci na V, která je antireflexivní a symetrická
|
||||
- odpovídá relaci na $V$, která je antireflexivní a symetrická
|
||||
|
||||
## Orientovaný graf
|
||||
|
||||
- Orientovaný graf je dvojice $G = (V, E)$, kde $V$ je množina vrcholů a $E \subseteq V \times V$ je množina hran. (hrany jsou nyní prvky kartézského součinu, tedy uspořádané dvojice vrcholů)
|
||||
- orientované grafy odpovídají binárním relacím
|
||||
- graf může obsahovat dvojici protichůdných hran
|
||||
- má upravené definice některých pojmů
|
||||
|
||||
## Základní grafy
|
||||
|
||||
### Bipartitní graf
|
||||
## Speciální grafy
|
||||
|
||||
**Biparitní (sudý) graf** $K_{m, n}$ má množinu vrcholů rozdělitelnou na dvě **disjunktní množiny** $A, B$ tak, že žádné dva **vrcholy ze stejné množiny nejsou spojeny** hranou.
|
||||
- $V = A \cup B, A \cap B = \emptyset$
|
||||
- $E \subseteq \{ \{a,b\} \mid a \in A, b \in B \}$
|
||||
|
||||
### Úplný graf
|
||||
**Úplný graf** na $n$ vrcholech (značený $K_{n}$) obsahuje jako hrany všechny neuspořádané dvojice prvků $[n]$, takže $V(K_{n}) = [n], E(K_{n}) = \left({[n] \atop 2}\right)$.
|
||||
|
||||
**Úplný graf** na n vrcholech (značený $K_{n}$) obsahuje jako hrany všechny neuspořádané dvojice prvků $[n]$, takže $V(K_{n}) = [n], E(K_{n}) = \left({[n] \atop 2}\right)$.
|
||||
**Diskrétní graf** $D_{n}$ na $n$ vrcholech nemá žádné hrany: $V(D_n) = [n], E(D_{n}) = \emptyset$.
|
||||
|
||||
### Diskrétní graf
|
||||
TODO
|
||||
|
||||
**Diskrétní graf** $D_{n}$ na n vrcholech nemá žádné hrany: $V(D_n) = [n], E(D_{n}) = \emptyset$.
|
||||
## Homomorfizmus grafu
|
||||
|
||||
Nechť $G_{1} = (V_{1}, E_{1})$ a $G_{2} = (V_{2}, E_{2})$ jsou grafy. Zobrazení $f: V_{1} \to V_{2}$ je **homomorfismus**, pokud platí
|
||||
1) $(x, y) \in E_{1} \implies (f(x), f(y)) \in E_{2}$,
|
||||
2) $\{x, y\} \in E_{1} \implies \{f(x), f(y)\} \in E_{2}$.
|
||||
- každá hrana se zobrazí na hranu
|
||||
- zkráceně píšeme $f: G_{1} \to G_{2}$
|
||||
|
||||
Poznámka: $f: V_{1} \to V_{2}$ je homomorfizmus právě když $e \in E_{1} \implies f^*(e) \in E_{2}$.
|
||||
### Zobrazení indukované zobrazením
|
||||
|
||||
Nechť $f: V_{1} \to V_{2}$ je **homomorfizmus**. Potom zobrazení $f^*: \left({V_{1} \atop 2}\right) \to \left({V_{2} \atop 2}\right)$ definované vztahy
|
||||
1) $f^*((u, v)) = (f(u), f(v))$,
|
||||
2) $f^*(\{u, v\}) = \{f(u), f(v)\}$
|
||||
|
||||
nazveme **zobrazení indukované zobrazením** $f$.
|
||||
|
||||
### Další morfizmy
|
||||
|
||||
Nechť $G_{1} = (V_{1}, E_{1})$ a $G_{2} = (V_{2}, E_{2})$ jsou grafy a zobrazení $f: V_{1} \to V_{2}$ je **homomorfismus**. Potom se $f$ nazývá
|
||||
1) **vrcholový monomorfizmus**, je-li $f$ prosté,
|
||||
2) **vrcholový epimorfizmus**, je-li $f$ na,
|
||||
3) **hranový monomorfizmus**, je-li $f^*$ prosté,
|
||||
4) **hranový epimorfizmus**, je-li $f^*$ na,
|
||||
5) **monomorfizmus**, jsou-li $f$ i $f^*$ prostá,
|
||||
6) **epimorfizmus**, jsou-li $f$ i $f^*$ na,
|
||||
7) **izomorfizmus**, jsou-li $f$ i $f^*$ zároveň prostá i na.
|
||||
|
||||
*(mono = prosté, epi = zobrazení na)*
|
||||
|
||||
Grafy $G_{1}, G_{2}$ jsou **izomorfní**, jestliže existuje izomorfizmus $G_{1}$ na $G_{2}$ a píšeme $G_{1} \simeq G_{2}$
|
||||
|
||||
# Orientované grafy
|
||||
|
||||
- **Orientovaný graf** je dvojice $G = (V, E)$, kde $V$ je množina vrcholů a $E \subseteq V \times V$ je množina hran. (hrany jsou nyní prvky kartézského součinu, tedy uspořádané dvojice vrcholů)
|
||||
- orientované grafy odpovídají **binárním relacím**
|
||||
- graf může obsahovat **dvojici protichůdných hran**
|
||||
- má upravené definice některých pojmů
|
||||
|
|
@ -21,4 +21,8 @@ faktor (podgraf jiný, než je graf $G$).
|
|||
|
||||
Faktor grafu $G$ (podgraf se stejnými vrcholy ale s odebranými stranami), který je stromem, se nazývá **kostra grafu** $G$.
|
||||
|
||||
Každý souvislý graf má alespoň jednu kostru.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
**Věta**: Každý souvislý graf má alespoň jednu kostru.
|
||||
- najdu kružnici - odstraním hranu - opakuji (reverzní mazací algoritmus)
|
||||
|
|
@ -34,6 +34,8 @@ Zjištění souvislosti grafu (komponenty grafu)
|
|||
|
||||
**Uzavřený sled** v grafu $G$ je sled $(v_{0}, \dots, v_{k})$, ve kterém platí $v_{0} = v_{k}$.
|
||||
|
||||
**Uzavřený tah** v grafu $G$ je tah $(v_{0}, \dots, v_{k})$, ve kterém platí $v_{0}= v_{k}$.
|
||||
|
||||
**Kružnice** v grafu $G$ je uzavřený sled délky alespoň 3, ve kterém se vrchol $v_{0}$ objevuje právě dvakrát a každý ostatní vrchol grafu nejvýše jednou. Číslo $k$ je délka dané kružnice.
|
||||
|
||||
## Vlastnosti
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -2,13 +2,38 @@
|
|||
|
||||
Pojmy **podgraf** a **indukovaný podgraf** jsou definovány stejně jako u neorientovaných grafů.
|
||||
|
||||
## Symetrizace grafu
|
||||
### Symetrizace orientovaného grafu
|
||||
|
||||
**Symetrizací orientovaného grafu** $\vec{G}$ nazveme neorientovaný graf $G$, kde $V(G) = V(\vec{G})$ a $E(G) = \left\{ \{ x, y \}; (x, y) \in E(\vec{G}) \right\}$.
|
||||
|
||||
Z orientovaného grafu můžeme snadno vyrobit neorientovaný graf tím, že "zapomeneme" orientaci všech hran. Případné smyčky odstraníme a násobné hrany nahradíme jednoduchými.
|
||||
|
||||
### Orientace neorientovaného grafu
|
||||
|
||||
**Orientací neorientovaného grafu** $G$ nazveme orientovaný graf $\vec{G}$ s $V(\vec{G}) = V(G)$ a pro každou hranu $e \in E(G)$ zvolíme v $\vec{G}$ jednu ze dvou možných orientací.
|
||||
|
||||
**Symetrickou orientací neorientovaného grafu** $G$ nazveme graf $\vec{G}_{s}$ takový, že $V(\vec{G}_{s}) = V(G)$ a $E(\vec{G}_{s}) = \left\{ (x, y), (y, x); \{ x, y \} \in E(G) \right\}$.
|
||||
- vrcholy jsou stejné a hrany tohoto grafu jsou obousměrné (oběma směry)
|
||||
|
||||
## Okolí a stupně orientovaných grafů
|
||||
|
||||
Mějme orientovaný graf $\vec{G}$ a vrchol $v \in V(\vec{G})$.
|
||||
|
||||
**Vstupním okolím** vrcholu $x$ v $\vec{G}$ nazveme vrcholy $N^\text{in}(x) = \left\{ v \in V(\vec{G}) ; (v, x) \in H(\vec{G}) \right\}$.
|
||||
|
||||
**Výstupním okolím** vrcholu $x$ v $\vec{G}$ nazveme vrcholy $N^\text{out}(x) = \left\{ v \in V(\vec{G}) ; (x, v) \in H(\vec{G}) \right\}$.
|
||||
|
||||
**Vstupním stupněm vrcholu** $x$ nazveme číslo $d^\text{in}(x) = \vert N^\text{in}(x) \vert$.
|
||||
|
||||
**Výstupním stupněm vrcholu** $x$ nazveme číslo $d^\text{out}(x) = \vert N^\text{out}(x) \vert$.
|
||||
|
||||
Nechť $\vec{G}$ je orientovaný graf, potom
|
||||
- $\displaystyle\sum_{v \in V(\vec{G})} d^\text{in}(v) = \sum_{v \in V(\vec{G})} d^\text{out}(v) = m$.
|
||||
- V grafu je stejný počet vstupních hran jako výstupních (jen jsou u jiných vrcholů) a tvoří všechny hrany daného grafu.
|
||||
|
||||
## Slabá souvislost
|
||||
|
||||
Řekneme, že orientovaný graf $G$ je (**slabě**) **souvislý**, je-li jeho symetrizace souvislá.
|
||||
Řekneme, že orientovaný graf $\vec{G}$ je (**slabě**) **souvislý**, je-li jeho symetrizace $G$ souvislý graf.
|
||||
|
||||
## Silná souvislost
|
||||
|
||||
|
|
@ -20,6 +45,33 @@ dvojice $v_{i−1}v_{i}$ hranou grafu $G$.
|
|||
|
||||
**Orientovaná cesta** v $G$ je orientovaný sled, který obsahuje každý vrchol nejvýše jednou.
|
||||
|
||||
Orientovaný graf $G$ je **silně souvislý**, pokud v něm pro každou dvojici vrcholů $x, y$ existuje **orientovaná cesta** z $x$ do $y$ i orientovaná cesta z $y$ do $x$.
|
||||
|
||||
### Cyklus
|
||||
|
||||
**Cyklus** v $G$ je orientovaný sled, ve kterém je $v_{0} = v_{k}$, tento vrchol je v něm obsažen právě dvakrát a všechny ostatní nejvýše jednou.
|
||||
|
||||
Orientovaný graf $G$ je **silně souvislý**, pokud v něm pro každou dvojici vrcholů $x, y$ existuje **orientovaná cesta** z $x$ do $y$ i orientovaná cesta z $y$ do $x$.
|
||||
Graf $G$ je silně souvislý právě tehdy, pokud je jeho každá hrana obsažena v nějakém cyklu.
|
||||
|
||||
Graf $G$ je **acyklický**, jestliže $G$ neobsahuje jako podgraf žádný cyklus.
|
||||
|
||||
## Relace oboustranné dosažitelnosti
|
||||
|
||||
Nechť $G$ je orientovaným grafem. Potom na vrcholech $x, y \in V(G)$ definujeme **relaci oboustranné dosažitelnosti** $x \sim y$, pokud v $G$ existuje orientovaná cesta z $x$ do $y$ i naopak.
|
||||
- tato relace je
|
||||
- reflexivní
|
||||
- symetrická
|
||||
- tranzitivní - $x \sim y \wedge y \sim z \implies x \sim z$
|
||||
- je to ekvivalence
|
||||
- $\implies$ rozklad V(G) na třídy ekvivalence
|
||||
|
||||
**Kvazikomponentou (silnou komponentou)** nazveme maximální silně souvislý podgraf grafu $\vec{G}$.
|
||||
- jedná se o podgraf indukovaný na třídě ekvivalence
|
||||
- dvě různé kvazikomponenty $\vec{G}$ nemají společný vrchol
|
||||
|
||||
![[_assets/kvazikomponenty.png]]
|
||||
|
||||
### Kondenzace
|
||||
|
||||
**Kondenzace orientovaného grafu** $G$ je orientovaný graf $G_{c}$, jehož vrcholy jsou kvazikomponenty grafu $G$, a pro různé kvazikomponenty $Q_{1}, Q_{2} \in V(G_{c})$ platí:
|
||||
- $Q_{1}Q_{2} \in E(G_{c})$, pokud pro nějaké $x_{1} \in V(Q_{1}), x_{2} \in V(Q_{2})$ je $x_{1}x_{2} \in E(G)$.
|
||||
Loading…
Reference in a new issue