Úprava 15. a 16. otázky z DMA

KMA DMA/Otázky ke zkoušce/15. Stromy.md

@@ -1,14 +1,24 @@
 # Stromy
 
-**Strom** je **souvislý graf**, který **neobsahuje** žádnou **kružnici**. List stromu $T$ je libovolný vrchol, jehož stupeň v $T$ je 1.
+**Strom** je **neorientovaný souvislý graf**, který **neobsahuje** žádnou **kružnici**.
 
-Má-li strom alespoň dva vrcholy, pak má alespoň dva listy.
+**List stromu** $T$ je libovolný vrchol, jehož stupeň v $T$ je 1 (vede z něj jediná hrana).
+- Tvrzení: Má-li strom alespoň **dva vrcholy**, pak má alespoň **dva listy**.
 
 **Les** - graf, jehož každá komponenta je stromem.
 
+### Věty
+
 Graf $G$ je strom právě, když pro každé dva vrcholy $u, v \in V(G)$ existuje v grafu $G$ právě jedna cesta z $u$ do $v$.
 
 Graf $G$ je strom, právě když je souvislý a má $n-1$ hran.
 
 Graf $G$ je strom, právě když je souvislý a nemá žádný souvislý vlastní
 faktor (podgraf jiný, než je graf $G$).
+- odmazáním libovolné hrany získám nesouvislý graf
+
+## Kostra grafu
+
+Faktor grafu $G$ (podgraf se stejnými vrcholy ale s odebranými stranami), který je stromem, se nazývá **kostra grafu** $G$.
+
+Každý souvislý graf má alespoň jednu kostru.

KMA DMA/Otázky ke zkoušce/16. Souvislost neorientovaného grafu.md

@@ -24,7 +24,7 @@ Graf $G$ je **souvislý**, pokud pro každé dva vrcholy $x, y$ existuje v grafu
 **Komponenty grafu** $G$ jsou všechny indukované podgrafy grafu $G$ na jednotlivých třídách ekvivalence $\sim$.
 
 - značí se $K$
-- $K$ je maximální souvislý podgrafy grafu $G$
+- $K$ je maximální souvislý podgraf grafu $G$
 	- nejde jej rozšířit o další vrchol, nemá-li ztratit souvislost
 
 Zjištění souvislosti grafu (komponenty grafu)
@@ -38,11 +38,17 @@ Zjištění souvislosti grafu (komponenty grafu)
 
 ## Vlastnosti
 
-Nechť $v$ je vrchol grafu $G$. Graf $G-v$, vzniklý odstraněním vrcholu $v$, je definován jako indukovaný podgraf grafu $G$ na množině $V(G)-\{v\}$.
+V každém souvislém grafu $G$ řádu $n \geq 2$ existují alespoň dva vrcholy $x, y$ takové, že $G-x$ i $G-y$ jsou souvislé.
 - Souvislý graf vždy **obsahuje vrchol**, jehož **odstraněním** graf **neztratí souvislost**.
 
-V souvislém grafu je $m \geq n-1$.
-- $n$ - počet vrcholů
-- $m$ - počet hran
+**Důkaz**
+- Graf $G$ je souvislý, tedy v něm existuje nějaká cesta. Vybereme nejdelší cestu v $G$ a označíme ji $P$ a její vrcholy $u, v$.
+- Kdyby $G-u$ nebyl souvislý, existoval by další soused vrcholu $u$, například $z$.
+- Poté by byla cesta $z, u, \dots, v$ byla delší než cesta $P$, proto je $G-u$ souvislý.
+
+Je-li graf $G$ souvislý, potom $m \geq n-1$.
+- Počet hran v souvislém grafu je $\geq$ počtu vrcholů - 1.
+- V souvislém grafu musí být cesta dlouhá $n$, na což je potřeba $n-1$ hran.
+
+Pokud $n \geq 2$, pak v grafu $G$ existuje $u, v \in V(G)$ tak, že $G-u$ a $G-v$ jsou souvislé.
 
-Pokud $n \geq 2$, pak v grafu $G$ existuje $u, v \in V(G)$ tak, že $G-u$ a $G-v$ jsou souvislé.

KMA DMA/Příklady/Booleovské funkce.md

@@ -1,34 +0,0 @@
-# Nalezení UDNF a UKNF
-
-Př.: $f(x, y) = [\overline{(\overline{x} \wedge y)} \wedge \overline{x}] \vee y = [\overline{(\overline{x} \cdot y)} \cdot x] + y$
-
-## 1. Tabulkou
-
-| $x$ | $y$ | $\overline{x} \wedge y$ | $a = \overline{(\overline{x} \wedge y)}$ | $b = a \wedge \overline{x}$ | $b \vee y$ |
-| --- | --- | ----------------------- | ---------------------------------------- | --------------------------- | ---------- |
-| 0   | 0   | 0                       | 1                                        | 1                           | **1**      |
-| 0   | 1   | 1                       | 0                                        | 0                           | **1**      |
-| 1   | 0   | 0                       | 1                                        | 0                           | 0          | 
-| 1   | 1   | 0                       | 1                                        | 0                           | **1**      |
-
-Postup
-1. vybereme řádky, kde funkce vyšla **1** (**ÚDNF**) nebo **0** (**ÚKNF**)
-2. zapisujeme jednotlivé klauzule podle prvků ($x, y, z, \dots$) v řádcích
-	- prvek zapíšeme jako komplement, pokud je rovna **0** (**ÚDNF**) nebo **1** (**ÚKNF**)
-	- když je výsledek funkce **1**, čáru napíšeme nad prvkem s hodnotou **0**
-
-Výsledek
-- ÚDNF: $f_{D}(x, y) = (\overline{x} \wedge \overline{y}) \vee (\overline{x} \wedge y) \vee (x \wedge y)$ 
-- ÚKNF: $f_{K}(x, y) = (\overline{x} \vee y)$
-
-## 2. Pomocí Booleovského kalkulusu
-
-Využijeme pravidel Booleovského kalkulusu a pokusíme se funkci zjednodušit a roznásobit.
-
-$f(x, y) = [\overline{(\overline{x} \wedge y)} \wedge \overline{x}] \vee y = [(x \vee \overline{y}) \wedge \overline{x}] \vee y = [(x \wedge \overline{x}) \vee (\overline{y} \wedge \overline{x})] \vee y = (\overline{y} \wedge \overline{x}) \vee y = (\overline{y} \vee y) \wedge (\overline{x} \vee y) = \overline{x} \vee y$
-- máme jedinou spojovou klauzuli, ve které je spojení, jedná se tedy o ÚKNF
-
-Zkusíme získat i ÚDNF:
-
-$f(x, y) = (\overline{y} \wedge \overline{x}) \vee y = (\overline{y} \wedge \overline{x}) \vee (y \wedge 1) = (\overline{y} \wedge \overline{x}) \vee [y \wedge (\overline{x} \vee x)] = (\overline{y} \wedge \overline{x}) \vee (\overline{x} \wedge y) \vee (x \wedge y)$
-- máme spojení 3 průsekových klauzulí, jedná se tedy o ÚDNF