Přidány první dva okruhy

KMA M1/Okruhy/1. Monotonie a omezenost posloupnosti.md

@@ -0,0 +1,27 @@
+# Monotonie a omezenost posloupnosti
+## Omezenost
+
+Posloupnost $(a_n)$ s oborem hodnot $H$ je omezená (zdola, shora), je-li množina $H$ omezená (zdola, shora).
+
+| značení | typ                     | příklad   |
+| ------- | ----------------------- | --------- |
+| **O**       | omezená (shora i zdola) | $(-1)^n$  |
+| **OS**      | omezená shora           | $4-n$     |
+| **OZ**      | omezená zdola           | $(n-8)^2$ | 
+
+## Monotonie
+
+Řekněme, že $(a_n)$ je
+
+| značka | typ             | podmínka                                                      |
+| ------ | --------------- | ------------------------------------------------------------- |
+| **R**  | rostoucí        | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} >= a_n$ |
+| **K**  | klesající       | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} <= a_n$ |
+| **OR** | ostře rostoucí  | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} > a_n$  |
+| **OK** | ostře klesající | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} < a_n$  |
+| **M**  | monotónní       | je klesající nebo rostoucí                                    |
+| **OM** | ostře monotónní | je ostře klesající nebo ostře rostoucí                        |
+
+### Zjištění monotonie
+1) Tipnu a ověřím
+2) Otazníčková metoda

KMA M1/Okruhy/2. Limita posloupnosti.md

@@ -0,0 +1,67 @@
+# Limita posloupnosti
+## Limita
+
+### Vlastní limita
+
+Posloupnost $(a_n)$ má vlastní limitu $a \in R$, pokud
+	$\displaystyle \forall \epsilon \in R > 0 \ \ \ \exists n_{0} \in N \ \ \ \forall n \in N : n > n_{0} \implies |a_{n} - a| < \epsilon$
+
+Píšeme $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a$ nebo $a_{n} \to a$
+
+Pozn.: $a - \epsilon < a_{n} < a + \epsilon$
+- Pro jakoukoli šířku pásma existuje standardní hodnota, všechna následující $n$ mají $a_n$ uvnitř $\epsilon$-pásem
+
+### Nevlastní limita
+
+Posloupnost $(a_n)$ má nevlastní limitu $+\infty$, pokud
+
+$\displaystyle \forall h > 0 \ \ \ \exists n_{0} \ \ \ \forall n \in N : n > n_{0} \implies a_{n} > h$
+	
+$\displaystyle \forall d < 0 \ \ \ \exists n_{0} \ \ \ \forall n \in N : n > n_{0} \implies a_{n} < d$
+
+Píšeme
+	$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = +\infty$ nebo $a_{n} \to +\infty$
+	$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = -\infty$ nebo $a_{n} \to -\infty$
+
+### Jednoznačnost limity
+
+Každá posloupnost má nejvýše 1 limitu
+
+### Algebra vlastních limit
+
+Nechť $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a$ a $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } b_{n} = b$, pak
+1) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\alpha \times a_{n} + \beta \times b_{n}) = \alpha \times a + \beta \times b$, pokud je pravá strana definována,
+
+2) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (a_{n} \times b_{n}) = a \times b$, pokud je pravá strana definována,
+
+3) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\frac{a_{n}}{b_{n}}) = \frac{a}{b}$,  pokud $b_{n} \neq 0$ pro všechna $n \in N$ a pokud je pravá strana definována
+
+### Eulerovo číslo
+
+- je definováno jako $\displaystyle e := \lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ = |"NV $1^\infty$"|
+- alternativní definice: $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$
+
+## Konvergence a divergence
+
+Řekněme, že $(a_n)$ je
+
+| značka | typ                     | podmínka                         |
+| ------ | ----------------------- | -------------------------------- |
+| **K**  | konvergentní            | má-li vlastní / konečnou limitu  |
+| **D**  | divergentní             | není-li konvergentní             |
+|        | divergentní k $+\infty$ | má-li nevlastní limitu $+\infty$ |
+|        | divergentní k $-\infty$ | má-li nevlastní limitu $-\infty$ |
+
+### Omezenost a limity
+1) Je-li posloupnost konvergentní (**K**), pak je i omezená (**O**)
+
+2) Diverguje-li posloupnost k $+\infty$, pak je omezená pouze zdola (**OZ**)
+
+3) Diverguje-li posloupnost k $-\infty$, pak je omezená pouze shora (**OS**)
+
+Dále také
+1) Je-li $(a_n)$ monotónní (**M**) a omezená (**O**), pak je i konvergentní (**K**)
+
+2) Je-li $(a_n)$ rostoucí (**R**) a omezená (**O**), pak $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = sup \ a_{n}$ a $min \ a_{n} = a_{1}$
+
+3) Je-li $(a_n)$ klesající (**K**) a omezená (**O**), pak $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = inf \ a_{n}$ a $max \ a_{n} = a_{1}$