Aktualizace a spojení pojmů z LAA
This commit is contained in:
parent
5981c8478c
commit
dac11b77e8
|
|
@ -110,11 +110,13 @@ V každém Eukleidovském prostoru konečné dimenze existuje ortogonální báz
|
|||
### Ortogonální průmět
|
||||
|
||||
Mějme Eukleidovský prostor $U$, jeho podprostor $V$ a v něm generátor (ne nutně bázi) $\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \dots, \vec{b}_{k}$. Máme určit ortogonální průmět $\overline{\vec{x}}$ prvku $\vec{x} \in U$ do $V$.
|
||||
- Víme, že $\vec{x} - \overline{\vec{x}} \perp \vec{b}_{i}$ pro každé $i = 1, 2, \dots, k$.
|
||||
- Víme, že $(\vec{x} - \overline{\vec{x}}) \perp \vec{b}_{i}$ pro každé $i = 1, 2, \dots, k$.
|
||||
- Dále: $\overline{\vec{x}} \in V$, tedy $\overline{\vec{x}} = a_{1}\vec{b}_{1} + a_{2}\vec{b}_{2} + \dots + a_{k}\vec{b}_{k}$ (je to LK generátorů).
|
||||
|
||||
![[_assets/ortogonalni-prumet.png]]
|
||||
|
||||
Ortogonální průmět $\overline{\vec{x}}$ je vzdálenost $\vec{x}$ od $\mathcal{U}$.
|
||||
|
||||
Pro každé $i = 1, 2, \dots, k$ platí:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -1,3 +1,5 @@
|
|||
# Pojmy z LAA
|
||||
|
||||
**Zobrazení** - Předpis $f : X \to Y$, kdy prvkům z X přiřazujeme prvky z Y (např. reálná funkce).
|
||||
|
||||
**Komplexní čísla** - Číslo $z = a+bi$, kde $a, b \in \mathbb{R};$ a $\text{Re}(z) = a, \text{Im}(z) = b;$ hodnota $i = \sqrt{-1}$.
|
||||
|
|
@ -5,6 +7,7 @@
|
|||
### Polynomy
|
||||
|
||||
**Polynom** - Polynomem proměnné $x$ je předpis (funkce) $p(x) = a_{n}x^n + \dots + a_{1}x + a_{0}$.
|
||||
- $p(x) = \sum_{i=0}^{n} a_{i}x^i \quad \forall x \in \mathbb{C}, a_{n} \neq 0$
|
||||
|
||||
**Koeficienty polynomu $p(x)$** - Hodnoty $a_{i}$ v předpisu polynomu.
|
||||
|
||||
|
|
@ -96,7 +99,7 @@ Tvary
|
|||
|
||||
**Konečně generovaný prostor** - Prostor, ve kterém existuje konežná množina generující $\mathcal{V}$.
|
||||
|
||||
**Báze prostoru $\mathcal{V}$** - Lineárně nezávislá množina, která generuje $\mathcal{V}$.
|
||||
**Báze prostoru $\mathcal{V}$** - Lineárně nezávislá množina, která generuje prostor $\mathcal{V}$.
|
||||
|
||||
**Dimenze $\mathcal{V}$** - Počet prvků báze LVP $\mathcal{V}$, značí se $\dim(\mathcal{V})$.
|
||||
|
||||
|
|
@ -134,19 +137,22 @@ Nechť $\mathcal{U}, \mathcal{V}$ jsou LVP a $\mathbb L : \mathcal{U} \to \mathc
|
|||
|
||||
**Lineární zobrazení (homomorfizmus)** - Zobrazení $\mathbb L : \mathcal{U} \to \mathcal{V}$ kde $\mathcal{U}, \mathcal{V}$ jsou LVP, jestliže pro každé $\vec x, \vec y \in \mathcal{U}$ a pro každé $c \in \mathbb R$ platí:
|
||||
1. $\mathbb{L}(\vec x + \vec y) = \mathbb{L}(\vec x) + \mathbb{L}(\vec y)$
|
||||
2. $\mathbb{L}(k \cdot \vec x) = k \cdot \mathbb{L}(\vec x)$
|
||||
2. $\mathbb{L}(c \cdot \vec x) = c \cdot \mathbb{L}(\vec x)$
|
||||
|
||||
**Identické zobrazení** - Zobrazení $\mathbb F$ definované vztahem $\mathbb F(x) = (x)$.
|
||||
|
||||
**Jádro lineárního zobrazení** - Množina všech prvků $\vec x \in \mathcal{U}$ takových, že $\mathbb L(\vec x) = \vec o$. Značíme ji $\text{Ker}(\mathbb L) = \{ \vec x \in \mathcal{U}; \mathbb L(\vec x) = \vec o \}$.
|
||||
**Jádro lineárního zobrazení** - Množina všech prvků $\vec x \in \mathcal{U}$ takových, že $\mathbb L(\vec x) = \vec o_{v}$. Značíme ji $\text{Ker}(\mathbb L) = \{ \vec x \in \mathcal{U}; \mathbb L(\vec x) = \vec o_{v} \}$.
|
||||
|
||||
**Obraz lineárního zobrazení** - Množina všech prvků $\vec y \in \mathcal{V}$ takových, že existuje $\vec x \in \mathcal{U}$ tak, že $\mathbb L(\vec x) = \vec y$. Značí se $\text{Im}(\mathbb L) = \{ \vec y \in \mathcal{V}; \exists \vec x \in \mathcal{U} \text { tak, že } \mathbb L(\vec x) = \vec y \}$.
|
||||
**Obraz lineárního zobrazení** - Množina všech prvků $\vec y \in \mathcal{V}$ takových, že existuje $\vec x \in \mathcal{U}$ tak, že $\mathbb L(\vec x) = \vec y$. Značí se $\text{Im}(\mathbb L) = \{ \vec y \in \mathcal{V}; \exists \vec x \in \mathcal{U}, \mathbb L(\vec x) = \vec y \}$.
|
||||
|
||||
**Izomorfní zobrazení** - Lineární zobrazení $\mathbb L$, jestliže je prostě a zároveň na.
|
||||
|
||||
**Izomorfní prostory** - Prostory $\mathcal{U}, \mathcal{V}$, pokud existuje izomorfní zobrazení z $\mathcal{U}$ do $\mathcal{V}$.
|
||||
|
||||
Matice přechodu ??
|
||||
**Matice lineárního zobrazení** - Nechť $\mathcal{U}, \mathcal{V}$ jsou LVP a $\mathbb{L} : \mathcal{U} \to \mathcal{V}$ lineární zobrazení. **Matice lineárního zobrazení** je matice M pro kterou platí: $\widehat{\mathbb{L}(\vec{u})} = M \cdot \vec u$.
|
||||
- $M = \begin{bmatrix}\widehat{\mathbb{L}(\vec{u}_1)} & \widehat{\mathbb{L}(\vec{u}_2)} & \dots & \widehat{\mathbb{L}(\vec{u}_n)}\end{bmatrix}$
|
||||
|
||||
**Matice přechodu** - Nechť $\mathcal{U}, \mathcal{V}$ jsou LVP a $\mathbb{L} : \mathcal{U} \to \mathcal{V}$ lineární zobrazení. Matice přechodu $T$ od báze $D$ k bázi $C$ je matice, pro kterou platí: $T \cdot \vec{x}_{c} = \widehat{I \cdot \vec{x}_{d}}$.
|
||||
|
||||
### Soustavy lineárních rovnic
|
||||
|
||||
|
|
@ -167,6 +173,7 @@ Matice přechodu ??
|
|||
**Charakteristická rovnice** - Rovnice $\det(A - \lambda I) = 0$, kde se charakteristický polynom rovná nule.
|
||||
|
||||
**Spektrum matice** - Soubor všech vlastních čísel matice A, značíme ho $\text{Sp}(A)$.
|
||||
- $\text{Sp}(A) = \{ 3^2; -1 \}$
|
||||
|
||||
**Podobnost matice** - Matice A a B jsou čtvercové, matice A je podobná matici B, jestliže existuje regulární matice T taková, že $A = T^{-1}BT$. Značíme $A \approx B$.
|
||||
|
||||
|
|
@ -195,17 +202,21 @@ kde $\mathcal{U}$ je LVP nad $\mathbb{R}$.
|
|||
**Eukleidovský prostor** - LVP se skalárním součinem.
|
||||
|
||||
**Norma** - Zobrazení $\Vert \text.\Vert : \mathcal{U} \to \mathbb{R}$ v lineárním vektorovém prostoru $\mathcal{U}$, které má vlastnosti
|
||||
1. $\Vert \vec{x} \Vert \geq 0 \, \forall \vec{x} \in U;\space \Vert \vec{x} \Vert = 0$, právě když $\vec{x} = \vec{o}$,
|
||||
1. $\Vert \vec{x} \Vert \geq 0 \, \forall \vec{x} \in U;\space \Vert \vec{x} \Vert = 0$ právě když $\vec{x} = \vec{o}$,
|
||||
2. $\Vert k\vec{x} \Vert = \vert k \vert \cdot \Vert \vec{x} \Vert \ \forall\vec{x} \in U$ a $\forall k \in \mathbb{R}$,
|
||||
3. $\Vert \vec{x} + \vec{y} \Vert \leq \Vert \vec{x} \Vert + \Vert \vec{y} \Vert \ \forall \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}$.
|
||||
|
||||
**Ortogonální prvky** - Dva prvky $\vec x, \vec y$ Eukleidovského prostoru, jestliže $(\vec x, \vec y) = 0$. Píšeme $\vec x \perp \vec y$. Množiny $X, Y \subset \mathcal{U}$ jsou ortogonální, jestoiže $\vec x \perp \vec y$ pro každé $\vec x \in X, \vec y \in Y$.
|
||||
|
||||
**Ortogonální průmět** - Nechť $\mathcal{V}$ je Eukleidovský prostor, $\mathcal{U}$ podprostor $\mathcal{V}$ a $\vec{v} \in \mathcal{V}, \vec{v} \notin \mathcal{U}$. **Ortogonální průmět** prvku $\vec{v}$ do podprostoru $\mathcal{U}$ je prvek $\vec{v}_{0}$, pokud platí:
|
||||
- $\vec{v}_{0} \in \mathcal{U}$,
|
||||
- $(\vec{v}-\vec{v}_{0}) \perp \mathcal{U}$.
|
||||
|
||||
**Ortogonální báze** - Báze Eukleidovského prostoru, jejíž každé dva prvky jsou ortogonální.
|
||||
|
||||
Unitární prostor ??
|
||||
|
||||
**Ortogonální doplňek** - Ortogonální doplněk $\mathcal{V}^{\perp}$ podprostoru $\mathcal{U}$ v $\mathcal{U}$ je množina všech vektorů z $\mathcal{U}$, které jsou kolmé na $\mathcal{V}$, tedy na každý prvek $\mathcal{V}$, kde $\mathcal{V}$ je podprostor Eukleidovského prostoru $\mathcal{U}$. Píšeme $V^{\perp} = \{\vec{u} \in \mathcal{U}; \vec{u} \perp \vec{v} \text{ pro každé } \vec{v} \in V\}$.
|
||||
**Ortogonální doplňek** - Ortogonální doplněk $\mathcal{V}^{\perp}$ podprostoru $\mathcal{V}$ v $\mathcal{U}$ je množina všech vektorů z $\mathcal{U}$, které jsou kolmé na $\mathcal{V}$, tedy na každý prvek $\mathcal{V}$, kde $\mathcal{V}$ je podprostor Eukleidovského prostoru $\mathcal{U}$. Píšeme $V^{\perp} = \{\vec{u} \in \mathcal{U}; \vec{u} \perp \vec{v}; \forall \vec{v} \in V\}$.
|
||||
|
||||
**Ortonormální báze** - Ortogonální báze $B = \{ \vec b_{1}, \vec b_{2}, \dots, \vec b_{k} \}$, kde $(\vec b_{i}, b_{i}) = 1$ pro každé $i = 1, 2, \dots, k$.
|
||||
|
||||
|
|
@ -215,7 +226,7 @@ Unitární prostor ??
|
|||
|
||||
**Inercie kvadratické formy** - Označme $k$ počet kladných vlastních čísel matice A, $z$ počet záporných a $d$ počet vlstních čísel matice A rovných nule, inercií kvadratické formy označíme trojici čísel $(k, z, d)$ a značíme $in(\kappa) = (k, z, d)$, kde $\kappa(\vec x) = \vec x^TA\vec x$ je kvadratická forma a A je reálná symetrická matice.
|
||||
|
||||
Řekněme, že kvadratická forma $\kappa(\vec x)$ na $\mathbb{R}^5$ je
|
||||
**Definitnost kvadratické formy** - Řekněme, že kvadratická forma $\kappa(\vec x)$ na $\mathbb{R}^5$ je
|
||||
|
||||
| typ | jestliže |
|
||||
| --------------------------------------- | -------------------------------------- |
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -1,188 +0,0 @@
|
|||
# Pojmy z LAA
|
||||
### inverzní matice, regulární a singulární matice
|
||||
- **inverzní matice**
|
||||
- X je inverzní k A, jestliže platí $A * X = X * A = I$
|
||||
|
||||
- **regulární matice**
|
||||
- **čtvercová** matice
|
||||
| vlastnost | výraz |
|
||||
| ----------------------------------------- | ------------------------- |
|
||||
| její **hodnost** se rovná jejímu **řádu** | $hod(A) = n$ |
|
||||
| má **nenulový determinant** | $\det{A} \neq 0$ |
|
||||
| **existuje** k ní **inverzní matice** | $\text{existuje } A^{-1}$ |
|
||||
- Každou **regulární matici** lze řádkovými elementárními úpravami převést **na jednotkovou matici**.
|
||||
|
||||
- **singulární matice**
|
||||
| vlastnost | výraz |
|
||||
| ------------------------------------------ | --------------------------- |
|
||||
| její **hodnost** je **menší než její řád** | $hod(A) < n$ |
|
||||
| má **nulový determinant** | $\det{A} = 0$ |
|
||||
| **neexistuje** k ní **inverzní matice** | $\text{neexistuje } A^{-1}$ |
|
||||
|
||||
### lineární, identické zobrazení, jádro, obraz, matice lineárního zobrazení a přechodu
|
||||
- zobrazení (funkce) => množiny M do množiny N je předpis, kdy každému prvku z M je přiřazen právě jeden prvek z N
|
||||
- **lineární zobrazení** (homomorfizmus)
|
||||
- máme ***L. V. P.***: $U, V$
|
||||
- Zobrazení $\mathbb{L} : U \rightarrow V$ je **lineární zobrazení** pokud $\forall x, y \in U$ a $\forall c \in \mathbb{R}$ platí:
|
||||
- 1. $\mathbb{L}(x+y) = \mathbb{L}(x) + \mathbb{L}(y)$
|
||||
- 2. $\mathbb{L}(c*x) = c * \mathbb{L}(x)$
|
||||
|
||||
- **identické zobrazení**
|
||||
- zobrazení $\mathbb{F}$ pro které platí $\mathbb{F}(x) = (x)$
|
||||
|
||||
- **jádro**
|
||||
- Máme ***L. V. P.***: $U, V$ a ***linerní zobrazení*** $\mathbb{L} : U \rightarrow V$
|
||||
- **jádro lineárního zobrazení** $\mathbb{L}$ je množina všech prvků $x \in U$ takových, že $\mathbb{L}(x) = 0_v$:
|
||||
- Ker($\mathbb{L}) = \left \{ x \in U; \mathbb{L}(x) = 0_v\right \}$
|
||||
|
||||
- **obraz**
|
||||
- Máme ***L. V. P.***: $U, V$ a ***linerní zobrazení*** $\mathbb{L} : U \rightarrow V$
|
||||
- **obraz lineárního zobrazení** $\mathbb{L}$ je množina všech prvků $y \in V$ takových, že $\exists \space x \in U$ tak, že $\mathbb{L}(x) = y$:
|
||||
- $Im \space \mathbb{L} = \{y \in V; \space \exists x \in U, \space \mathbb{L}(x) = y \}$
|
||||
|
||||
- **matice lineárního zobrazení**
|
||||
- Máme ***L. V. P.***: $U, V$ a ***linerní zobrazení*** $\mathbb{L} : U \rightarrow V$
|
||||
- **matice lineárního zobrazení** je matice M pro kterou platí: $\widehat{\mathbb{L}(u)} = M * \vec u$
|
||||
- M = [$\widehat{\mathbb{L}(u_1)} \space\space \widehat{\mathbb{L}(u_2)} \space\space ... \space\space \widehat{\mathbb{L}(u_n)}$]
|
||||
|
||||
- **matice přechodu**
|
||||
- Máme ***L. V. P.***: $U, V$ a ***linerní zobrazení*** $\mathbb{L} : U \rightarrow V$
|
||||
- **matice přechodu $T$** je matice pro kterou platí: $T* \vec x_c = \widehat {I * \vec x_d}$
|
||||
- matice přechodu $T$ od báze $D$ k bázi $C$
|
||||
|
||||
### determinant matice, hodnost matice, algebraický doplněk matice
|
||||
- **determinant**
|
||||
- **Determinantem** čtvercové matice $A = [a_{ij}]$ řádu $n$ nazveme číslo
|
||||
- $$\det(A) = \sum_{\pi}^{} zn(\pi)a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)}\dots a_{n\pi(n)}$$
|
||||
- kde sčítáme přes všechny permutace na množině $\{1, 2, \dots, n\}$.
|
||||
- součet všech permutací vzniklých z diagonálního řádku matice, kde sudá permutace je s kladným znaménkém a lichá se záporným
|
||||
- v součinu prvků v definici determinantu je z každého řádku a z každého sloupce vybrán právě jeden prvek
|
||||
|
||||
- **hodnost matice**
|
||||
- počet nenulových řádků / sloupců matice
|
||||
- **dimenze lineárního obalu souboru řádků / sloupců matice**
|
||||
- Je to číslo, které představuje maximální počet lineárně nezávislých řádků / sloupců matice.
|
||||
|
||||
- **algebraický doplněk matice**
|
||||
- Subdeterminant (minor) vzniklý z matice vynecháním $i$-tého řádku a $j$-tého sloupce.
|
||||
- $(-1)^{i+j} * \det A[\cancel{i/j}]$
|
||||
|
||||
### polynom proměnné x
|
||||
- polynom je funkce ve tvaru součtu násobků mocninných funkcí
|
||||
- $$\displaystyle p(x) = \sum^n_{i=0} a_{i}x^i \ \ \forall x \in C, a_{n} \neq 0$$
|
||||
|
||||
- $$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + . . . + a_{1}x + a_0 \ \ \ \forall x \in C, a_{n} \neq 0$$
|
||||
|
||||
### vlastní číslo, vektor, spektrum matice
|
||||
- **vlastní číslo matice**
|
||||
- máme čtvercovou matici - $A$, vlastní vektor matice $A$ - $\vec{u}$, vlastní číslo matice $A$ - $\lambda$
|
||||
- pro vlastní číslo musí platit: $A * \vec u = λ * \vec u$
|
||||
|
||||
- **spektrum matice**
|
||||
- Nechť A je čtvercová matice
|
||||
- soubor všech vlastních čísel matice A
|
||||
- značí se $Sp(A)$
|
||||
- např.: $Sp(A) = \{3^2; -1\}$
|
||||
|
||||
- **vlastní vektor matice**
|
||||
- Nechť A je čtvercová matice
|
||||
- **nenulový** vektor $\vec u$ je vlastním vektorem matice $A$ příslušnému vlastnímu číslu $\lambda$, jestliže $A * \vec u = λ * \vec u$
|
||||
|
||||
### báze L.V.P., dimenze L.V.P., podprostor
|
||||
- **báze L.V.P.**
|
||||
- množina LN vektorů, které generují daný prostor
|
||||
- **dimenze L.V.P.**
|
||||
- počet prvků báze
|
||||
- značí se: $dim(V)$
|
||||
- **podprostor**
|
||||
- máme lineární vektorový prostor $V$ a jeho podprostor $U \subset V$, jestliže
|
||||
- 1. pro každé $\vec{u}, \vec{v} \in U$ je $\vec{u} + \vec{v} \in U$
|
||||
- 2. pro každé $\vec{u} \in U$ a pro každé $a \in K$ je $a \cdot \vec{u} \in U$
|
||||
- vyplývá, že v podprostoru $U$ bude vždy i nulový vektor ($a = 0$)
|
||||
|
||||
- každý podprostor vektorového prostoru je také vektorovým prostorem
|
||||
|
||||
### ortogonální doplněk podprostoru
|
||||
- máme $V\leftarrow$ podprostor Eukleidovského prostoru $W$
|
||||
- **ortogonální doplněk $V^{\perp}$ podprostoru** $V$ v $U$ je množina všech vektorů z $U$, které jsou kolmé na $V$
|
||||
- $V^{\perp} = \{ \vec u \in U; \forall \space \vec v \in V; \vec u \perp \vec v \}$
|
||||
- $dim(V) + dim(V^{\perp}) = dim(W)$
|
||||
|
||||
### lineárně závislé prvky, lin. kombinace prvků
|
||||
- **lineárně závislé prvky**
|
||||
- máme L. V. P.: $V$
|
||||
- máme prvky $\vec v_1, \vec v_2, ..., \vec v_n \in V$ a koeficienty $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n \in \mathbb{R}$
|
||||
- prvky jsou **lineárně závislé** (LZ) pokud LK $\neq 0$: $\lambda_1 * \vec v_1 + \lambda_2 * \vec v_2 + ... + \lambda_n * \vec v_n \neq 0$
|
||||
- **lineárně nezávislé prvky**
|
||||
- máme L. V. P.: $V$
|
||||
- máme prvky $\vec v_1, \vec v_2, ..., \vec v_n \in V$ a koeficienty $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n \in \mathbb{R}$
|
||||
- prvky jsou **lineárně nezávislé** (LN) pokud LK $\neq 0$: $\lambda_1 * \vec v_1 + \lambda_2 * \vec v_2 + ... + \lambda_n * \vec v_n = 0$
|
||||
- **lineární kombinace prvků**
|
||||
- máme L. V. P.: $V$
|
||||
- máme prvky $\vec v_1, \vec v_2, ..., \vec v_n \in V$ a koeficienty $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n \in \mathbb{R}$
|
||||
- **lineární kombinace prvků**: $\lambda_1 * \vec v_1 + \lambda_2 * \vec v_2 + ... + \lambda_n * \vec v_n$
|
||||
|
||||
### kvadratická forma, inercie, definitnost kvadratické formy, hlavní minor
|
||||
- **kvadratická forma**
|
||||
- Nechť **A** je reálná symetrická matice řádu n
|
||||
- **kvadratická forma** určená maticí **A** je zobrazení $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$
|
||||
- **inercie**
|
||||
- Nechť $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$ je kvadratická forma, **A** reálná symetrická matice
|
||||
- **inercie** je Trojice čísel ($k$, $z$, $d$)
|
||||
- $k$ - počet kladných vlastních čísel matice **A**;
|
||||
- $z$ - počet záporných vlastních čísel matice **A**;
|
||||
- $d$ - počet nulových vlastních čísel matice **A**.
|
||||
- **definitnost kvadratické formy**
|
||||
- vyjadřuje, jakých hodnot nabývá forma pro všechny nenulové vektory
|
||||
- pozitivně definitní: $in(\kappa) = (k, 0, 0)$
|
||||
- negativně definitní: $in(\kappa) = (0, z, 0)$
|
||||
- pozitivně semidefinitní: $in(\kappa) = (k, 0, d)$
|
||||
- negativně semidefinitní: $in(\kappa) = (0, z, d)$
|
||||
- indefinitní: $in(\kappa) = (k, z, d)$
|
||||
|
||||
- **hlavní minor**
|
||||
- Nechť $A = [a_{ij}]$ je reálná symetrická matice řádu $n$ a $A_k$ je její podmatice obsahující prvky $a_{11}, a_{12}, \dots, a_{kk}$. Potom číslo $\det(A_k)$ nazveme **hlavním minorem matice** $A$ **řádu** $k$ a značí se $\Delta _{k}$.
|
||||
|
||||
### kořen polynomu, stupeň polynomu
|
||||
- Nechť $p(x)$ je polynom proměnné $x$
|
||||
- **kořenem polynomu** $p(x)$: $c \in C$ takové, že $p(c) = 0$
|
||||
- **stupeň polynomu**: nejvyšší mocnina proměnné x u níž je nenulový koeficient
|
||||
|
||||
### diagonální, symetrická, trojúhelníková, . . . matice
|
||||
- **diagonální matice**
|
||||
- čtvercová matice s nenulovými čísly pouze na hlavní diagonále
|
||||
- pro $i \neq j : A_{ij} = 0$
|
||||
$$diag\{1, -3, 0\} = A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$
|
||||
|
||||
- **symetrická matice**
|
||||
- čtvercová matice, kde se $a_{ij}$ rovná $a_{ji}$
|
||||
- $\forall i, j : a_{ij} = a_{ji}$
|
||||
$$A_{1} = \begin{bmatrix} 1 & \underline{2} & \underline{1} \\ \underline{2} & 1 & \underline{0} \\ \underline{1} & \underline{0} & 3 \end{bmatrix}$$
|
||||
|
||||
- **Antisymetrická matice**
|
||||
- čtvercová matice, kde se $a_{ij}$ rovná $-a_{ji}$
|
||||
- na hlavní diagonále musí mít nuly, protože $0 = -0$
|
||||
- $\forall i, j : a_{ij} = -a_{ji}$
|
||||
$$A_{2} = \begin{bmatrix} 0 & \underline{2} & \underline{-1} \\ \underline{-2} & 0 & \underline{3} \\ \underline{1} & \underline{-3} & 0 \end{bmatrix}$$
|
||||
- **Poznámka**: V antisymetrické matici jsou všechny prvky $a_{ii} = 0$
|
||||
|
||||
- **trojúhelníková matice**
|
||||
- Pro **horní trojúhelníkovou** platí pro všechna $i > j$, že $a_{ij} = 0$
|
||||
- Pro **dolní trojúhelníkovou** platí pro všechna $i < j$, že $a_{ij} = 0$
|
||||
$$H = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \quad D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$
|
||||
|
||||
### Ortogonální průmět a jeho vlastnosti
|
||||
- Nechť V je euklidovský prostor
|
||||
- Nechť $U$ je podprostor prostoru $V$
|
||||
- nechť $v \in V$, $v \notin U$
|
||||
- **ortogonální průmět** prvku $v$ do podprostoru $U$ je prvek $v_0$ pokud platí:
|
||||
- $v_0 \in U$
|
||||
- $(v - v_0) \perp U$
|
||||
- ortogonální průmět $v_0$ tedy realizuje vzdálenost $v$ od $U$ (vzdálenost je zde definována )
|
||||
|
||||
### Norma
|
||||
- máme $L. V. P.: V$
|
||||
- norma je zobrazení $||x||: V \rightarrow R$
|
||||
- 1. $$||x+y|| \leq ||x|| + ||y|| \ \forall {x,y} \in V $$
|
||||
- 2. $$ ||\lambda * x|| = ||\lambda|| * ||x|| \ \forall {x} \in V \ \forall \lambda \in \mathbb R$$
|
||||
- 3. $||x|| \geq 0 \ \forall x \in \mathbb R, \ ||x|| = 0 <=> x = 0$
|
||||
Loading…
Reference in a new issue