FAV-ZCU/KMA LAA/Pojmy_Vojta.md

Pojmy z LAA

inverzní matice, regulární a singulární matice

• inverzní matice

  • X je inverzní k A, jestliže platí A * X = X * A = I

• regulární matice

  • čtvercová matice

    vlastnost	výraz
    její hodnost se rovná jejímu řádu	hod(A) = n
    má nenulový determinant	\det{A} \neq 0
    existuje k ní inverzní matice	\text{existuje } A^{-1}

  • Každou regulární matici lze řádkovými elementárními úpravami převést na jednotkovou matici.

• singulární matice

  vlastnost	výraz
  její hodnost je menší než její řád	hod(A) < n
  má nulový determinant	\det{A} = 0
  neexistuje k ní inverzní matice	\text{neexistuje } A^{-1}

lineární, identické zobrazení, jádro, obraz, matice lineárního zobrazení a přechodu

• zobrazení (funkce) => množiny M do množiny N je předpis, kdy každému prvku z M je přiřazen právě jeden prvek z N

• lineární zobrazení (homomorfizmus)

  • máme L. V. P.: U, V
  • Zobrazení \mathbb{L} : U \rightarrow V je lineární zobrazení pokud \forall x, y \in U a \forall c \in \mathbb{R} platí:
    • 1. \mathbb{L}(x+y) = \mathbb{L}(x) + \mathbb{L}(y)
    • 2. \mathbb{L}(c*x) = c * \mathbb{L}(x)

• identické zobrazení

  • zobrazení \mathbb{F} pro které platí \mathbb{F}(x) = (x)

• jádro

  • Máme L. V. P.: U, V a linerní zobrazení \mathbb{L} : U \rightarrow V
  • jádro lineárního zobrazení \mathbb{L} je množina všech prvků x \in U takových, že \mathbb{L}(x) = 0_v:
    • Ker(\mathbb{L}) = \left \{ x \in U; \mathbb{L}(x) = 0_v\right \}

• obraz

  • Máme L. V. P.: U, V a linerní zobrazení \mathbb{L} : U \rightarrow V
  • obraz lineárního zobrazení \mathbb{L} je množina všech prvků y \in V takových, že \exists \space x \in U tak, že \mathbb{L}(x) = y:
    • Im \space \mathbb{L} = \{y \in V; \space \exists x \in U, \space \mathbb{L}(x) = y \}

• matice lineárního zobrazení

  • Máme L. V. P.: U, V a linerní zobrazení \mathbb{L} : U \rightarrow V
  • matice lineárního zobrazení je matice M pro kterou platí: \widehat{\mathbb{L}(u)} = M * \vec u
  • M = [$\widehat{\mathbb{L}(u_1)} \space\space \widehat{\mathbb{L}(u_2)} \space\space ... \space\space \widehat{\mathbb{L}(u_n)}$]

• matice přechodu

  • Máme L. V. P.: U, V a linerní zobrazení \mathbb{L} : U \rightarrow V
  • matice přechodu $T$ je matice pro kterou platí: T* \vec x_c = \widehat {I * \vec x_d}
  • matice přechodu T od báze D k bázi C

determinant matice, hodnost matice, algebraický doplněk matice

• determinant

  • Determinantem čtvercové matice A = [a_{ij}] řádu n nazveme číslo

  • \det(A) = \sum_{\pi}^{} zn(\pi)a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)}\dots a_{n\pi(n)}

  • kde sčítáme přes všechny permutace na množině \{1, 2, \dots, n\}.
  • součet všech permutací vzniklých z diagonálního řádku matice, kde sudá permutace je s kladným znaménkém a lichá se záporným
  • v součinu prvků v definici determinantu je z každého řádku a z každého sloupce vybrán právě jeden prvek

• hodnost matice

  • počet nenulových řádků / sloupců matice
  • dimenze lineárního obalu souboru řádků / sloupců matice
  • Je to číslo, které představuje maximální počet lineárně nezávislých řádků / sloupců matice.

• algebraický doplněk matice

  • Subdeterminant (minor) vzniklý z matice vynecháním $i$-tého řádku a $j$-tého sloupce.
  • (-1)^{i+j} * \det A[\cancel{i/j}]

polynom proměnné x

• polynom je funkce ve tvaru součtu násobků mocninných funkcí

• \displaystyle p(x) = \sum^n_{i=0} a_{i}x^i \ \ \forall x \in C, a_{n} \neq 0

• p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + . . . + a_{1}x + a_0 \ \ \ \forall x \in C, a_{n} \neq 0

vlastní číslo, vektor, spektrum matice

• vlastní číslo matice

  • máme čtvercovou matici - A, vlastní vektor matice A - \vec{u}, vlastní číslo matice A - \lambda
  • pro vlastní číslo musí platit: A * \vec u = λ * \vec u

• spektrum matice

  • Nechť A je čtvercová matice
  • soubor všech vlastních čísel matice A
  • značí se Sp(A)
    • např.: Sp(A) = \{3^2; -1\}

• vlastní vektor matice

  • Nechť A je čtvercová matice
  • nenulový vektor \vec u je vlastním vektorem matice A příslušnému vlastnímu číslu \lambda, jestliže A * \vec u = λ * \vec u

báze L.V.P., dimenze L.V.P., podprostor

• báze L.V.P.
  • množina LN vektorů, které generují daný prostor
• dimenze L.V.P.
  • počet prvků báze
  • značí se: dim(V)
• podprostor

  • máme lineární vektorový prostor V a jeho podprostor U \subset V, jestliže

    • 1. pro každé \vec{u}, \vec{v} \in U je \vec{u} + \vec{v} \in U
    • 2. pro každé \vec{u} \in U a pro každé a \in K je a \cdot \vec{u} \in U

  • vyplývá, že v podprostoru U bude vždy i nulový vektor ($a = 0$)

  • každý podprostor vektorového prostoru je také vektorovým prostorem

ortogonální doplněk podprostoru

• máme V\leftarrow podprostor Eukleidovského prostoru W
• ortogonální doplněk V^{\perp} podprostoru V v U je množina všech vektorů z U, které jsou kolmé na V
• V^{\perp} = \{ \vec u \in U; \forall \space \vec v \in V; \vec u \perp \vec v \}
• dim(V) + dim(V^{\perp}) = dim(W)

lineárně závislé prvky, lin. kombinace prvků

• lineárně závislé prvky
  • máme L. V. P.: V
  • máme prvky \vec v_1, \vec v_2, ..., \vec v_n \in V a koeficienty \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n \in \mathbb{R}
  • prvky jsou lineárně závislé (LZ) pokud LK \neq 0: \lambda_1 * \vec v_1 + \lambda_2 * \vec v_2 + ... + \lambda_n * \vec v_n \neq 0
• lineárně nezávislé prvky
  • máme L. V. P.: V
  • máme prvky \vec v_1, \vec v_2, ..., \vec v_n \in V a koeficienty \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n \in \mathbb{R}
  • prvky jsou lineárně nezávislé (LN) pokud LK \neq 0: \lambda_1 * \vec v_1 + \lambda_2 * \vec v_2 + ... + \lambda_n * \vec v_n = 0
• lineární kombinace prvků
  • máme L. V. P.: V
  • máme prvky \vec v_1, \vec v_2, ..., \vec v_n \in V a koeficienty \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n \in \mathbb{R}
  • lineární kombinace prvků: \lambda_1 * \vec v_1 + \lambda_2 * \vec v_2 + ... + \lambda_n * \vec v_n

kvadratická forma, inercie, definitnost kvadratické formy, hlavní minor

• kvadratická forma

  • Nechť A je reálná symetrická matice řádu n
  • kvadratická forma určená maticí A je zobrazení \kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}

• inercie

  • Nechť \kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x} je kvadratická forma, A reálná symetrická matice
  • inercie je Trojice čísel (k, z, $d$)
    • k - počet kladných vlastních čísel matice A;
    • z - počet záporných vlastních čísel matice A;
    • d - počet nulových vlastních čísel matice A.

• definitnost kvadratické formy

  • vyjadřuje, jakých hodnot nabývá forma pro všechny nenulové vektory
  • pozitivně definitní: in(\kappa) = (k, 0, 0)
  • negativně definitní: in(\kappa) = (0, z, 0)
  • pozitivně semidefinitní: in(\kappa) = (k, 0, d)
  • negativně semidefinitní: in(\kappa) = (0, z, d)
  • indefinitní: in(\kappa) = (k, z, d)

• hlavní minor

  • Nechť A = [a_{ij}] je reálná symetrická matice řádu n a A_k je její podmatice obsahující prvky a_{11}, a_{12}, \dots, a_{kk}. Potom číslo \det(A_k) nazveme hlavním minorem matice A řádu k a značí se \Delta _{k}.

kořen polynomu, stupeň polynomu

• Nechť p(x) je polynom proměnné x
• kořenem polynomu p(x): c \in C takové, že p(c) = 0
• stupeň polynomu: nejvyšší mocnina proměnné x u níž je nenulový koeficient

diagonální, symetrická, trojúhelníková, . . . matice

• diagonální matice

  • čtvercová matice s nenulovými čísly pouze na hlavní diagonále
  • pro i \neq j : A_{ij} = 0

    diag\{1, -3, 0\} = A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

• symetrická matice

  • čtvercová matice, kde se a_{ij} rovná a_{ji}
  • \forall i, j : a_{ij} = a_{ji}

    A_{1} = \begin{bmatrix} 1 & \underline{2} & \underline{1} \\ \underline{2} & 1 & \underline{0} \\ \underline{1} & \underline{0} & 3 \end{bmatrix}

• Antisymetrická matice

  • čtvercová matice, kde se a_{ij} rovná -a_{ji}
  • na hlavní diagonále musí mít nuly, protože 0 = -0
  • \forall i, j : a_{ij} = -a_{ji}

    A_{2} = \begin{bmatrix} 0 & \underline{2} & \underline{-1} \\ \underline{-2} & 0 & \underline{3} \\ \underline{1} & \underline{-3} & 0 \end{bmatrix}

  • Poznámka: V antisymetrické matici jsou všechny prvky a_{ii} = 0

• trojúhelníková matice

  • Pro horní trojúhelníkovou platí pro všechna i > j, že a_{ij} = 0
  • Pro dolní trojúhelníkovou platí pro všechna i < j, že a_{ij} = 0

    H = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \quad D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}

Ortogonální průmět a jeho vlastnosti

• Nechť V je euklidovský prostor
• Nechť U je podprostor prostoru V
• nechť v \in V, v \notin U
• ortogonální průmět prvku v do podprostoru U je prvek v_0 pokud platí:
  • v_0 \in U
  • (v - v_0) \perp U
• ortogonální průmět v_0 tedy realizuje vzdálenost v od U (vzdálenost je zde definována )

Norma

• máme L. V. P.: V
• norma je zobrazení ||x||: V \rightarrow R

  • 1. ||x+y|| \leq ||x|| + ||y|| \ \forall {x,y} \in V 

  • 2.  ||\lambda * x|| = ||\lambda|| * ||x|| \ \forall {x} \in V \ \forall \lambda \in \mathbb R

  • 3. ||x|| \geq 0 \ \forall x \in \mathbb R, \ ||x|| = 0 <=> x = 0