Merge branch 'master' of https://git.znachor.cz/Znachor/FAV-ZCU
This commit is contained in:
commit
971d8caeca
|
|
@ -24,27 +24,27 @@ Nulový polynom je polynom, který má všechny **koeficienty rovny 0**.
|
|||
### Operace s polynomy
|
||||
|
||||
1) Rovnost: $p(x) = q(x)$
|
||||
$p(x) = 3x^2 - 8x + 6$
|
||||
$q(x) = 6 - 3x^2 - 8x + 6x^2$
|
||||
- $p(x) = 3x^2 - 8x + 6$
|
||||
- $q(x) = 6 - 3x^2 - 8x + 6x^2$
|
||||
|
||||
2) Opačný polynom: $-p(x)$
|
||||
$p(x) = 3x^2 - 8x + 6$
|
||||
$-p(x) = -3x^2 + 8x - 6$
|
||||
- $p(x) = 3x^2 - 8x + 6$
|
||||
- $-p(x) = -3x^2 + 8x - 6$
|
||||
|
||||
3) Součet: $p(x) + q(x)$
|
||||
$p(x) + q(x) = 6x^2 - 16x + 12$
|
||||
- $p(x) + q(x) = 6x^2 - 16x + 12$
|
||||
|
||||
4) Rozdíl: $p(x) - q(x)$
|
||||
$p(x) - q(x) = u(x) = o$
|
||||
- $p(x) - q(x) = u(x) = o$
|
||||
|
||||
5) k-násobek: $k \times p(x)$
|
||||
$-3 \times p(x) = -9x^2 + 24x - 18$
|
||||
- $-3 \times p(x) = -9x^2 + 24x - 18$
|
||||
|
||||
6) Součin: $p(x) \times q(x)$
|
||||
$p(x) \times q(x) = 9x^4 - 48x^3 + 100x^2 - 96x + 36$
|
||||
- $p(x) \times q(x) = 9x^4 - 48x^3 + 100x^2 - 96x + 36$
|
||||
|
||||
7) Podíl: $\frac{p(x)}{q(x)}$
|
||||
písemné dělení
|
||||
- písemné dělení
|
||||
|
||||
### Funkční hodnota v bodě
|
||||
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -14,16 +14,31 @@ Vektorový prostor V nad tělesem K:
|
|||
- sčítání: $V + V \to V$
|
||||
- násobení: $K \cdot V \to V$
|
||||
|
||||
| typ | pro všechna | platí |
|
||||
| --- | ------------------------------------------------- | --------------------------------------------------------------- |
|
||||
| S | $\forall \vec{u}, \vec{v} \in V$ | $\vec{u} + \vec{v} = \vec{w}$ |
|
||||
| S | $\forall \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in V$ | $\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}$ |
|
||||
| S | $\exists \vec{o} \in V : \forall \vec{u} \in V$ | $\vec{u} + \vec{o} = \vec{u}$ |
|
||||
| S | $\forall \vec{u} \in V \ \ \exists \vec{v} \in V$ | $\vec{u} + \vec{v} = \vec{o}$ |
|
||||
| N | $\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K$ | $a \cdot (b \cdot \vec{u}) = (a \cdot b) \cdot \vec{u}$ |
|
||||
| N | $\forall \vec{u} \in V$ | $1 \cdot \vec{u} = \vec{u}$ |
|
||||
| D | $\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K$ | $(a + b) \cdot \vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}$ |
|
||||
| D | $\forall \vec{u}, \vec{v} \in V, \forall a \in K$ | $a \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}$ |
|
||||
## Lineární vektorový prostor
|
||||
|
||||
**Lineární vektorový prostor nad tělesem $\mathbb T$** (nad $\mathbb{C}$ nebo $\mathbb{R}$) je neprázdná množina $\mathcal{V}$, kde pro každé $\vec x, \vec y, \vec z \in \mathcal{V}$ a pro každé $k, l \in \mathbb T$ platí:
|
||||
|
||||
| vlastnost | název |
|
||||
| ----------------------------------------------------------------------------------------------- | --------------- |
|
||||
| existuje právě jeden prvek $\vec u \in \mathcal{V}$ tak, že $\vec u = \vec x + \vec y$ | sčítání |
|
||||
| existuje právě jeden prvek $\vec u \in \mathcal{V}$ tak, že $\vec u = k \vec x$ | násobení |
|
||||
| $(\vec x + \vec y) + \vec z = \vec x + (\vec y + \vec z)$ | |
|
||||
| existuje prvek $\vec o \in \mathcal{V}$ takový, že $\vec x + \vec o = \vec o + \vec x = \vec x$ | neutrální prvek |
|
||||
| existuje prvek $-\vec{x}$ takový, že $\vec{x} + (-\vec{x}) = -\vec{x} + \vec{x} = \vec{o}$ | opačný prvek |
|
||||
| $(k+l)\vec x = k\vec x + l\vec x$ | |
|
||||
| $(kl)\vec x = k(l\vec x)$ | |
|
||||
| $1\vec x = \vec x$ | |
|
||||
| $k(\vec x + \vec y) = k\vec x + k\vec y$ | |
|
||||
|
||||
### Základní vlastnosti LVP
|
||||
|
||||
- nulový prvek je určen jednoznačně
|
||||
- je-li $\vec{x}+\vec{y}=\vec{x}+\vec{z}$, pak $\vec{y}=\vec{z}$
|
||||
- pro všechna $\vec{x} \in \mathcal{V}$ je opačný prvek $-\vec{x}$ určen jednoznačně
|
||||
- je-li $\vec{x}+\vec{y}=\vec{z}$, pak $\vec{x}=\vec{z}+(-\vec{y})$
|
||||
- pro všechna $\vec{x} \in \mathcal{V}$ a $k \in \mathbb{R}$ je $0\vec{x}=k\vec{o}=\vec{o}$
|
||||
- pro všechna $\vec{x} \in \mathcal{V}$ je $-1\vec{x}=-\vec{x}$
|
||||
- je-li $k\vec{x}=\vec{o}$, pak buď $k=0$ nebo $\vec{x}=\vec{o}$
|
||||
|
||||
### Podprostor
|
||||
|
||||
|
|
@ -34,6 +49,19 @@ Máme lineární vektorový prostor $V$ a jeho podprostor $U \subset V$, jestli
|
|||
|
||||
Každý podprostor vektorového prostoru je také vektorovým prostorem.
|
||||
|
||||
### Lineární kombinace
|
||||
|
||||
Prvek $\lambda_{1} \vec v_{1} + \lambda_{2} \vec v_{2} + \dots + \lambda_{k} \vec v_{k}$ (**LK**), kde $\vec v_{i}$ jsou prvky LVP $\mathcal{V}$ a $\lambda_{i}$ jsou koeficienty.
|
||||
|
||||
#### Lineární (ne)závislost
|
||||
|
||||
Prvky nazveme **lineárně nezávislými** (**LN**), jestliže se žádný z nich nedá vyjádřit lineární kombinací ostatních prvků (neboli $LK = \vec{o}$, jedině když $\lambda=0$). V opačném případě budou prvky **lineárně závislé** (**LZ**).
|
||||
|
||||
#### Lineární obal
|
||||
|
||||
Všechny lineární kombinace zadaných vektorů.
|
||||
- zapisujeme $\langle\vec{u}; \vec{v}\rangle = \{ \lambda_{1} \cdot \vec{u} + \lambda_{2} \cdot \vec{v} \}$
|
||||
|
||||
### Generující množina
|
||||
|
||||
Množina $M = \{\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \dots, \vec{v_{k}}\} \subseteq V$ generuje lineární vektorový prostor, jestliže se lineární kombinace všech prvků M rovná prostoru V, tedy $\langle M \rangle = V$.
|
||||
|
|
@ -73,11 +101,6 @@ $$\widehat{(\lambda \cdot\vec{v_{2}})}_{B} = \lambda \cdot \widehat{\vec{v_{2}}_
|
|||
3. Pomocí GJEM převedeme levou stranu matice do tvaru jednotkové matice.
|
||||
4. Na pravé straně máme souřadnice v zadané bázi.
|
||||
|
||||
### Lineární obal
|
||||
|
||||
- všechny lineární kombinace zadaných vektorů
|
||||
- $\langle\vec{u}; \vec{v}\rangle = \{ \lambda_{1} \cdot \vec{u} + \lambda_{2} \cdot \vec{v} \}$
|
||||
|
||||
### Operace s podprostory
|
||||
|
||||
- Sjednocení $u_{1} \cup u_{2}$
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -66,14 +66,16 @@ J_{2} & \mathbf{2} & 4 & 3 & \mathbf{1} & 5
|
|||
\end{matrix}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### Znaménko permutace $\pi$
|
||||
|
||||
Permutace je **sudá nebo lichá** podle sudého nebo lichého počtu transpozic.
|
||||
- **Znaménko permutace** $\pi$ je pak číslo
|
||||
|
||||
$$
|
||||
zn(\pi) = \begin{cases}1, \text{je-li } \pi \text{ sudá} \\ -1, \text{je-li } \pi \text{ lichá}\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
- Znaménko permutace vzniklé složením dvou permutací se rovná součinu znamének každé permutace.
|
||||
- $zn(\pi_1 \circ \pi_{2}) = zn(\pi_{1}) \cdot zn(\pi_{2})$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
zn(\pi) = \begin{cases}1, \text{je-li } \pi \text{ sudá} \\ -1, \text{je-li } \pi \text{ lichá}\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Znaménko permutace vzniklé složením dvou permutací se rovná součinu znamének každé permutace.
|
||||
- $zn(\pi_1 \circ \pi_{2}) = zn(\pi_{1}) \cdot zn(\pi_{2})$
|
||||
|
||||
## Determinant
|
||||
|
||||
|
|
@ -85,29 +87,48 @@ kde sčítáme přes všechny permutace na množině $\{1, 2, \dots, n\}$.
|
|||
|
||||
- determinant je suma všech permutací vzniklých z diagonálního řádku matice, kde sudá permutace je s kladným znaménkem a lichá se záporným
|
||||
- v součinu prvků v definici determinantu je z každého řádku a z každého sloupce vybrán právě jeden prvek
|
||||
- $det(A) = det(A^{T})$
|
||||
- $\det(A) = \det(A^{T})$
|
||||
|
||||
#### Algebraický doplněk matice
|
||||
### Algebraický doplněk matice
|
||||
|
||||
Subdeterminant (minor) vzniklý z matice vynecháním $i$-tého řádku a $j$-tého sloupce.
|
||||
- $(-1)^{i+j} \det A[\cancel{i/j}]$
|
||||
|
||||
### Rozvoj podle i-tého řádku
|
||||
Symbolem $A[\cancel{i/j}]$ značíme matice A s vynechaným $i$-tým řádkem a $j$-tým sloupcem.
|
||||
|
||||
- A je čtvercová matice řádu $n$
|
||||
- $i \in {\{ 1, 2, ..., n \}}$
|
||||
- $det(A) = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in} = \sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$
|
||||
- elementární úpravy:
|
||||
- prohození dvou řádků matice
|
||||
- vynásobení (vydělení) řádku matice nenulovým číslem
|
||||
- přičtení $k$-násobku $i$-tého řádku k $j$-tému
|
||||
- pro determinanty můžeme využívat analogicky i sloupcové elementární úpravy
|
||||
### Rozvoj podle i-tého řádku (sloupce)
|
||||
|
||||
Nechť A je čtvercová matice řádu $n$ a $i \in {\{ 1, 2, \dots, n \}}$.
|
||||
|
||||
$\displaystyle \det(A) = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2} + \dots + a_{in}A_{in} = \sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$
|
||||
|
||||
**Elementární úpravy**:
|
||||
- prohození dvou řádků matice
|
||||
- vynásobení (vydělení) řádku matice nenulovým číslem
|
||||
- přičtení $k$-násobku $i$-tého řádku k $j$-tému
|
||||
|
||||
Pro determinanty můžeme využívat analogicky i sloupcové elementární úpravy, protože $\det(A) = \det(A^T)$.
|
||||
|
||||
Rozvojem se řeší všechny determinanty řádu $\geq 4$.
|
||||
|
||||
### Vlastnosti determinantu
|
||||
|
||||
1. $\det I = 1$
|
||||
2. Výměna řádků otočí znaménko
|
||||
3. Vynásobení řádku číslem $a$ znamená $a \cdot \det \dots$
|
||||
4. $\displaystyle\begin{bmatrix}a+a' & b+b' \\ c & d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}a' & b' \\ c & d\end{bmatrix}$
|
||||
5. Dva stejné řádky/sloupce $\implies \det A = 0$
|
||||
6. Řádek/sloupec samých nul $\implies \det A = 0$
|
||||
7. Přičtení $a$-násobku jiného řádku $\implies \det A$ je stejný
|
||||
8. Trojúhelníková matice $\implies \det A$ je součin prvků na diagonále
|
||||
9. Singulární matice $\implies \det A = 0$ (nesingulární $\implies \det A \neq 0$)
|
||||
10. $\det A \cdot B = \det A \cdot \det B\quad\left( \det A^{-1} = \frac{1}{\det A} \right)$
|
||||
11. $\det A^T = \det A$
|
||||
|
||||
### Věty
|
||||
|
||||
Nechť matice B vznikne z matice A prohozením dvou řádků (sloupců). Potom $\det(B) = -\det(A)$.
|
||||
- **DK**: Prohozením dvou řádků (sloupců) se změní počet transpozic v každé permutaci o 1, tedy znaménka se změní v opačná.
|
||||
- z definice determinantu pak plyne, že determinant vyjde opačný k $det(A)$
|
||||
- **DK**: Prohozením dvou řádků (sloupců) se změní počet transpozic v každé permutaci o 1, tedy znaménka se změní v opačná. Z definice determinantu pak plyne, že determinant vyjde opačný k $\det(A)$.
|
||||
|
||||
Má-li matice A **dva stejné řádky** nebo **sloupce**, potom $\det(A) = 0$.
|
||||
- **DK**: Matice B vznikne z matice A prohozením dvou stejných řádků (sloupců).
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -70,13 +70,15 @@ Každou **regulární matici** lze řádkovými elementárními úpravami přev
|
|||
|
||||
Determinant **trojúhelníkové matice** je roven **součinu prvků na hlavní diagonále**.
|
||||
|
||||
Determinant libovolné **čtvercové podmatice** řádu $m$ se nazývá **minořem řádu** $m$ matice A.
|
||||
Determinant libovolné **čtvercové podmatice** řádu $m$ se nazývá **minorem řádu** $m$ matice A.
|
||||
|
||||
**Hodnost matice** $A$ je rovna **rozměru největšího nenulového subdeterminantu**.
|
||||
|
||||
Nechť A je matice. Potom je $hod(A) = m$ právě tehdy,
|
||||
- když v A existuje **nenulový minor řádu** $m$
|
||||
- a zároveň každý **minor řádu většího než** $m$ **je nulový**.
|
||||
|
||||
Nechť A je čtvercová řádu $n$. Potom $hod(A) = n$, **pokud se $\det(A)$ nerová 0**
|
||||
Nechť A je čtvercová řádu $n$. Potom $hod(A) = n$, **pokud se $\det(A)$ nerová 0**.
|
||||
- **DK**: Podle předchozí věty je $hod(A) = n \iff$ v A existuje nenulový minor řádu $n$.
|
||||
- Víme, že jedinému minoru řádu $n$ odpovídá celá matice A, tedy $hod(A) = n \iff \det(A)$ **se nerovná 0**.
|
||||
|
||||
|
|
@ -99,4 +101,3 @@ Pokud je matice A regulární, je možné získat inverzní matici.
|
|||
$\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot A^A$
|
||||
|
||||
![[_assets/inverzni-matice-determinant.jpg]]
|
||||
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -1,24 +1,22 @@
|
|||
# Lineární zobrazení
|
||||
|
||||
- $U = R^4$ - před zobrazením
|
||||
- $V = R^3$ - po zobrazení
|
||||
- $\mathbb{L} : U \to V$
|
||||
- $\mathcal{U} = R^4$ - LVP před zobrazením
|
||||
- $\mathcal{V}= R^3$ - LVP po zobrazení
|
||||
- $\mathbb L : \mathcal{U} \to \mathcal{V}$
|
||||
|
||||
Zobrazení $\mathbb L : \mathcal{U} \to \mathcal{V}$ kde $\mathcal{U}, \mathcal{V}$ jsou LVP, jestliže pro každé $\vec x, \vec y \in \mathcal{U}$ a pro každé $c \in \mathbb R$ platí:
|
||||
1. $\mathbb{L}(\vec x + \vec y) = \mathbb{L}(\vec x) + \mathbb{L}(\vec y)$
|
||||
2. $\mathbb{L}(c \cdot \vec x) = c \cdot \mathbb{L}(\vec x)$
|
||||
|
||||
Nazývá se také **homomorfizmus**.
|
||||
|
||||
$\dim(Ker \space \mathbb L) + \dim(Im \space \mathbb L) = \dim(U)$
|
||||
|
||||
### Ověření linearity zobrazení
|
||||
|
||||
- zkontrolovat, že platí
|
||||
- $\mathbb{L}(V + V) = \mathbb{L}(V) + \mathbb{L}(V)$
|
||||
- $\mathbb{L}(k \cdot V) = k \cdot \mathbb{L}(V)$
|
||||
$\dim(Ker \space \mathbb L) + \dim(Im \space \mathbb L) = \dim(\mathcal U)$
|
||||
|
||||
### Jádro
|
||||
|
||||
- všechny LK vektorů před zobrazením, které se po zobrazení rovnají 0
|
||||
- zjištění přes zjištění LK
|
||||
- $Ker \space \mathbb{L} = \{ \forall \vec x \in U; \mathbb L (\vec x) = 0 \}$
|
||||
- $Ker \space \mathbb{L} = \{ \forall \vec x \in \mathcal U; \mathbb L (\vec x) = 0 \}$
|
||||
- zápis: $Ker \space \mathbb{L} = \langle \vec{u}; \vec{v} \rangle$
|
||||
|
||||
Zapíšu zobrazení do matice, po provedení GJEM zjistím, které prvky se zobrazí na nulový vektor (tedy si vyjádřím např. $a, b, c$).
|
||||
|
|
@ -26,25 +24,37 @@ Zapíšu zobrazení do matice, po provedení GJEM zjistím, které prvky se zobr
|
|||
### Obraz
|
||||
|
||||
- všechny LK vektorů po zobrazení
|
||||
- $Im \space \mathbb{L} = \{ \vec y \in V; \exists \vec x U, \mathbb{L}(\vec x) = \vec y \}$
|
||||
- $Im \space \mathbb{L} = \{ \vec y \in \mathcal V; \exists \vec x \in \mathcal U, \mathbb{L}(\vec x) = \vec y \}$
|
||||
- zápis: $Im \space \mathbb{L} = \langle \vec{u}; \vec{v} \rangle$
|
||||
|
||||
Vypočítám jej opět zapsáním zobrazení do matice a provedením GJEM. Obrazem je poté LN množina vektorů (podobné jako u báze).
|
||||
|
||||
### Identické zobrazení
|
||||
|
||||
Zobrazení definované vztahem $F(x) = (x)$.
|
||||
Zobrazení $\mathbb F$ definované vztahem $\mathbb F(x) = (x)$.
|
||||
|
||||
### Prosté zobrazení
|
||||
|
||||
Každý prvek z prostoru $U$ se zobrazí přesně na jeden prvek z prostoru $V$.
|
||||
- $\dim(Ker \space \mathbb{L}) = \{\vec{o}_{U}\}$
|
||||
Každý prvek z prostoru $\mathcal U$ se zobrazí pouze na jeden prvek z prostoru $\mathcal V$ a naopak.
|
||||
- $Ker \space \mathbb{L} = \{\vec{o}_{\mathcal U}\}$
|
||||
- $\dim(Ker \space \mathbb{L}) = 0$
|
||||
|
||||
### Zobrazení na
|
||||
|
||||
Zobrazuje na celou cílovou množinu.
|
||||
- $\forall v \in \mathcal V : \exists u \in \mathcal U : f(u) = v$
|
||||
|
||||
### Izomorfní zobrazení
|
||||
|
||||
Lineární zobrazení je **izomorfizmem**, pokud je **prosté** a dimenze jeho obrazu je stejná jako dimenze prostoru V.
|
||||
- platí $\dim(Ker \space \mathbb{L}) = \{\vec{o}_{U}\}$ a $\dim(Im \space \mathbb{L}) = \dim(V)$
|
||||
- $\dim(U) = \dim(V)$
|
||||
Lineární zobrazení je **izomorfizmem**, pokud je **prosté a na**, dimenze jeho obrazu je stejná jako dimenze prostoru V.
|
||||
- platí $\dim(Ker \space \mathbb{L}) = \{\vec{o}_{\mathcal U}\}$ a $\dim(Im \space \mathbb{L}) = \dim(\mathcal V)$
|
||||
- $\dim(\mathcal U) = \dim(\mathcal V)$
|
||||
|
||||
### Inverzní zobrazení
|
||||
|
||||
Je-li $f : A \to B$ zobrazení, pak inverzním zobrazením je $f^{-1} : B \to A$.
|
||||
- $f^{-1}(b) = a$
|
||||
- $f(a) = b$
|
||||
|
||||
## Matice lineárního zobrazení
|
||||
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -27,27 +27,27 @@ Stupeň nulového polynomu je roven mínus nekonečnu - $st(n(x)) = -\infty$
|
|||
### Operace s polynomy
|
||||
|
||||
1) Rovnost: $p(x) = q(x)$
|
||||
$p(x) = 3x^2 - 8x + 6$
|
||||
$q(x) = 6 - 3x^2 - 8x + 6x^2$
|
||||
- $p(x) = 3x^2 - 8x + 6$
|
||||
- $q(x) = 6 - 3x^2 - 8x + 6x^2$
|
||||
|
||||
2) Opačný polynom: $-p(x)$
|
||||
$p(x) = 3x^2 - 8x + 6$
|
||||
$-p(x) = -3x^2 + 8x - 6$
|
||||
- $p(x) = 3x^2 - 8x + 6$
|
||||
- $-p(x) = -3x^2 + 8x - 6$
|
||||
|
||||
3) Součet: $p(x) + q(x)$
|
||||
$p(x) + q(x) = 6x^2 - 16x + 12$
|
||||
- $p(x) + q(x) = 6x^2 - 16x + 12$
|
||||
|
||||
4) Rozdíl: $p(x) - q(x)$
|
||||
$p(x) - q(x) = u(x) = o$
|
||||
- $p(x) - q(x) = u(x) = o$
|
||||
|
||||
5) k-násobek: $k \times p(x)$
|
||||
$-3 \times p(x) = -9x^2 + 24x - 18$
|
||||
- $-3 \times p(x) = -9x^2 + 24x - 18$
|
||||
|
||||
6) Součin: $p(x) \times q(x)$
|
||||
$p(x) \times q(x) = 9x^4 - 48x^3 + 100x^2 - 96x + 36$
|
||||
- $p(x) \times q(x) = 9x^4 - 48x^3 + 100x^2 - 96x + 36$
|
||||
|
||||
7) Podíl: $\frac{p(x)}{q(x)}$
|
||||
písemné dělení
|
||||
- písemné dělení
|
||||
|
||||
### Funkční hodnota v bodě
|
||||
|
||||
|
|
|
|||
Loading…
Reference in a new issue