Přidány poznámky

KMA LAA/Okruhy/24. Inercie kvadratické formy, zákon setrvačnosti kvadratických forem.md

@@ -0,0 +1,24 @@
+# Inercie kvadratické formy, zákon setrvačnosti kvadratických forem
+## Inercie kvadratické formy
+- Nechť $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$ je kvadratická forma, **A** reálná symetrická matice. Označme
+	- $k$ - počet kladných vlastních čísel matice **A** (vč. násobností);
+	- $z$ - počet záporných vlastních čísel matice **A**;
+	- $d$ - počet nulových vlastních čísel matice **A**.
+- **inercie kvadratické formy** - Trojice čísel ($k$, $z$, $d$)
+- značíme $in(\kappa) = (k, z, d)$
+
+### Druhy inercií
+
+Řekněme, že kvadratická forma $\kappa(\vec{x})$ na $\mathbb{R}^n$ je
+
+| typ                         | jestliže                               |
+| --------------------------- | -------------------------------------- |
+| **pozitivně definitní**     | $in(\kappa) = (k, 0, 0)$               |
+| **negativně definitní**     | $in(\kappa) = (0, z, 0)$               |
+| **pozitivně semidefinitní** | $in(\kappa) = (k, 0, d), d > 0$        |
+| **negativně semidefinitní** | $in(\kappa) = (0, z, d), d > 0$        |
+| **indefinitní**             | $in(\kappa) = (k, z, d), k > 0, z > 0$ |
+
+## Zákon setrvačnosti kvadratických forem
+- Je-li kvadratická forma na $\mathbb{R}^n$ vyjádřena dvěma způsoby jako lineární kombinace čtverců souřadnic vzhledem ke dvěma bázím, pak v obou vyjádřeních je **stejný počet kladných, záporných i nulových koeficientů**.
+	- $2x^2 + 2y^2 = (x+y)^2 + (x-y)^2$