Přidány poznámky

KMA LAA/Okruhy/6. Hodnost matice, Gaussova eliminační metoda, určení hodnosti pomocí determinantů.md

@@ -0,0 +1,28 @@
+# Hodnost matice, Gaussova eliminační metoda, určení hodnosti pomocí determinantů
+## Hodnost matice
+- Hodnost matice je maximální počet lineárně nezávislých řádků/sloupců v matici.
+- Pro každou matici A platí, že
+    - **řádková hodnost** je rovna té **sloupcové**, takže $hod^r(A) = hod^s(A)$;
+    - **hodnost transponované** matice je rovna hodnosti původní matice, takže $hod(A) = hod(A^T)$.
+
+### Řádkový a sloupcový prostor matice
+
+U matice A typu $m/n$ je
+- lineární obal všech **řádkových vektorů** (řádků) nazýván **řádkovým prostorem** matice A;
+- lineární obal všech **sloupcových vektorů** (sloupců) nazýván **sloupcovým prostorem** matice A.
+
+Dimenzi řádkového nebo sloupcového prostoru nazveme **řádkovou (sloupcovou) hodností** matice A a značíme ji $hod^r(A)$ resp. $hod^s(A)$.
+
+### Vlastnosti
+- Nechť $A$ a $B$ jsou matice a $C$ = $A * B$ => $hod(C) \leq min\{hod(A), hod(B)\}$
+- Nechť $B$ je regulární matice a $A$ je libovolná matice => $hod(A*B)$ nebo $hod(B*A) = hod(A)$
+
+## Gaussova eliminační metoda
+- algortimus pro převedení matice na stupňovitý tvar
+
+## Určení hodnosti pomocí determinantů
+- determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na hlavní diagonále
+- determinant libovolné čtvercové podmatice řádu $m$ se nazývá **minorem řádu** $m$ matice $A$
+- nechť $A$ je matice
+    - $hod(A) = m$ právě tehdy, když v $A \ \exist$ nenulový minor řádu m a zároveň každý minor řádu většího než $m$ je nulový
+- Hodnost matice $A$ je rovna rozměru největšího nenulového subdeterminantu