Přidány poznámky k okruhům
This commit is contained in:
parent
b50d296afe
commit
daa55ce567
|
|
@ -0,0 +1,93 @@
|
|||
# Determinant matice
|
||||
|
||||
## Permutace
|
||||
|
||||
Vzájemně jednoznačné zobrazení konečné množiny na sebe.
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\pi_{1} = \begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
|
||||
5 & 3 & 2 & 1 & 4
|
||||
\end{pmatrix} \qquad \pi_{2} = \begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
|
||||
2 & 4 & 3 & 1 & 5
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Můžeme je skládat (stejně jako funkce):
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\pi_{1} \circ \pi_{2} = \begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
|
||||
5 & 3 & 4 & 2 & 1
|
||||
\end{pmatrix} \qquad \pi_{2} \circ \pi_{1} = \begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
|
||||
1 & 3 & 2 & 5 & 4
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### Transpozice
|
||||
|
||||
Permutace $\pi$, pro kterou existují $i, j$ takové, že $\pi(i) = j, \pi(j) = i$ a $\pi(k) = k$ pro všechna $k \neq i, j$.
|
||||
- v transpozici dojde pouze k **prohození dvou prvků**
|
||||
|
||||
$$
|
||||
J_{1} = \begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
|
||||
1 & 4 & 3 & 2 & 5
|
||||
\end{pmatrix} \qquad J_{2} = \begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
|
||||
2 & 1 & 3 & 4 & 5
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Každá **permutace** se dá vyjádřit jako složení **konečného počtu transpozic**.
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\pi_{2} = \begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
|
||||
2 & 4 & 3 & 1 & 5
|
||||
\end{pmatrix} = J_{1} \circ J_{2} = \begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
|
||||
1 & 4 & 3 & 2 & 5
|
||||
\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
|
||||
2 & 1 & 3 & 4 & 5
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Znázornění jednotlivých transpozic (směrem dolů):
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\downarrow \quad \begin{matrix}
|
||||
\text{začátek} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
|
||||
J_{1} & 1 & \mathbf{4} & 3 & \mathbf{2} & 5\\
|
||||
J_{2} & \mathbf{2} & 4 & 3 & \mathbf{1} & 5
|
||||
\end{matrix}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Permutace je **sudá nebo lichá** podle sudého nebo lichého počtu transpozic.
|
||||
- **Znaménko permutace** $\pi$ je pak číslo
|
||||
|
||||
$$
|
||||
zn(\pi) = \begin{cases}1, \text{je-li } \pi \text{ sudá} \\ -1, \text{je-li } \pi \text{ lichá}\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
- Znaménko permutace vzniklé složením dvou permutací se rovná součinu znamének každé permutace.
|
||||
- $zn(\pi_1 \circ \pi_{2}) = zn(\pi_{1}) \cdot zn(\pi_{2})$
|
||||
|
||||
## Determinant
|
||||
|
||||
**Determinantem** čtvercové matice $A = [a_{ij}]$ řádu $n$ nazveme číslo
|
||||
|
||||
$$\det(A) = \sum_{\pi}^{} zn(\pi)a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)}\dots a_{n\pi(n)}$$
|
||||
|
||||
kde sčítáme přes všechny permutace na množině $\{1, 2, \dots, n\}$.
|
||||
|
||||
- determinant je suma všech permutací vzniklých z diagonálního řádku matice, kde sudá permutace je s kladným znaménkem a lichá se záporným
|
||||
- v součinu prvků v definici determinantu je z každého řádku a z každého sloupce vybrán právě jeden prvek
|
||||
- $det(A) = det(A^{T})$
|
||||
|
||||
#### Algebraický doplněk matice
|
||||
|
||||
Subdeterminant (minor) vzniklý z matice vynecháním $i$-tého řádku a $j$-tého sloupce.
|
||||
- $(-1)^{i+j} \det A[\cancel{i/j}]$
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,43 @@
|
|||
## Determinant
|
||||
|
||||
**Determinantem** čtvercové matice $A = [a_{ij}]$ řádu $n$ nazveme číslo
|
||||
|
||||
$$\det(A) = \sum_{\pi}^{} zn(\pi)a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)}\dots a_{n\pi(n)}$$
|
||||
|
||||
kde sčítáme přes všechny permutace na množině $\{1, 2, \dots, n\}$.
|
||||
|
||||
### Rozvoj podle i-tého řádku
|
||||
|
||||
- A je čtvercová matice řádu $n$
|
||||
- $i \in {\{ 1, 2, ..., n \}}$
|
||||
- $det(A) = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in} = \sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$
|
||||
- rozvojem se řeší všechny determinanty řádu $n\eq 4$
|
||||
- elementární úpravy:
|
||||
- prohození dvou řádků matice
|
||||
- vynásobení (vydělení) řádku matice nenulovým číslem
|
||||
- přičtení $k$-násobku $i$-tého řádku k $j$-tému
|
||||
- pro determinanty můžeme využívat analogicky i sloupcové elementární úpravy ($det(A) = det(A^{T})$)
|
||||
|
||||
### Věty
|
||||
|
||||
Nechť matice B vznikne z matice A prohozením dvou řádků (sloupců). Potom $\det(B) = -\det(A)$.
|
||||
- **DK**: Prohozením dvou řádků (sloupců) se změní počet transpozic v každé permutaci o 1, tedy znaménka se změní v opačná.
|
||||
- z definice determinantu pak plyne, že determinant vyjde opačný k $det(A)$
|
||||
|
||||
Má-li matice A **dva stejné řádky** nebo **sloupce**, potom $\det(A) = 0$.
|
||||
- **DK**: Matice B vznikne z matice A prohozením dvou stejných řádků (sloupců).
|
||||
- musí platit zároveň, že:
|
||||
- $\det(B) = -\det(A)$ z předchozí věty, tedy $0 = -0$
|
||||
- matice $B = A$, tedy $\det(B) = \det(A)$, proto $0 = 0$
|
||||
- Z toho plyne, že determinant je nulový, tedy $\det(A)=\det(B)=0$.
|
||||
|
||||
Nechť matice B vznikne z matice A vynásobením $i$-tého řádku (sloupce) číslem $c$. Potom $\det(B) = c \cdot \det(A)$.
|
||||
- **DK**: Rozvoj v matici B podle $i$-tého řádku:
|
||||
- $\det(B) = (c \cdot a_{i1} \cdot A_{i1} + c \cdot a_{i2} \cdot A_{i2} + \dots + c \cdot a_{in} \cdot A_{in}) =$ $c \cdot (a_{i1} \cdot A_{i1} + a_{i2} \cdot A_{i2} + \dots + a_{in}*A_{in}) = c \cdot det(A)$
|
||||
|
||||
Má-li matice A nějaký řádek nebo sloupec nulový, potom $\det(A) = 0$
|
||||
- **DK**: Rozvojem podle nulového řádku (či sloupce).
|
||||
|
||||
Nechť matice B vznikne z matice A přičtením $c$-násobku $i$-tého řádku (slupce) k $j$-tému řádku (sloupci) ($i \neq j$). Potom $\det(B) = \det(A)$.
|
||||
|
||||
Nechť A, B jsou matice řádu $n$. Potom $\det(A \cdot B) = det(A) \cdot det(B)$.
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,53 @@
|
|||
# Lineární vektorové prostory
|
||||
|
||||
- neprázdnou množinu V nazveme lineární vekotorový prostor nad tělesem $\mathbb{T}$ (nad $\mathbb{C}$ nebo nad $\mathbb{R}$)
|
||||
- těleso je množina s operacemi "$+$" a "$*$" splňující distributivitu
|
||||
|
||||
Příklady:
|
||||
|
||||
| zápis | typ |
|
||||
| ---------- | ------------------------------------------- |
|
||||
| $R^2, R^3$ | geometrické vektory o 2, resp. 3 složkách |
|
||||
| $R^n$ | n-tice reálných čísel (aritmetické vektory) |
|
||||
| $M_{m,n}$ | všechny matice typu m/n (nad $R$, nad $C$) |
|
||||
| $P_n$ | všechny polynomy stupně nejvýše n |
|
||||
| $C(a,b)$ | všechny funkce spojité na $<a, b>$ |
|
||||
|
||||
## základní vlastnosti v L. V. P.
|
||||
- Nechť V je L. V. P. nad $\mathbb R$
|
||||
- nulový prvek je určen jednoznačně
|
||||
- je-li $x + y = x + z => y = z$
|
||||
- je-li $x + y = z => x = z + (-y)$
|
||||
- $\forall x \in V$ je opačný prvek $-x$ určen jednoznačně
|
||||
- $\forall x \in V$ a $\forall k \in \mathbb R$ je $0x = k0 = 0$
|
||||
- $\forall x \in V$ je $-1x = -x$
|
||||
- je-li $kx = 0 => k = 0$ nebo $x = 0$
|
||||
|
||||
# Lineární závislost a nezávislost
|
||||
- Nechť V je $L. V. P.$ a $v_1, v_2, ..., v_n$ jsou prvky prostoru V
|
||||
- Nechť $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ jsou reálná čísla (prvky $\mathbb T$)
|
||||
- prvek $\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + ... + \lambda_n v_n$ se nazvývá **lineární kombinací**
|
||||
- prvky $v_1, v_2, ..., v_n$ jsou **linárně nezávislé** pokud LK $= 0$
|
||||
- prvky $v_1, v_2, ..., v_n$ jsou **linárně závislé** pokud LK $\neq 0$
|
||||
|
||||
- prázdná množina prvků je vždy LN
|
||||
|
||||
### Podprostor
|
||||
|
||||
Máme lineární vektorový prostor $V$ a jeho podprostor $U \subset V$, jestliže
|
||||
1) pro každé $\vec{u}, \vec{v} \in U$ je $\vec{u} + \vec{v} \in U$
|
||||
2) pro každé $\vec{u} \in U$ a pro každé $a \in K$ je $a \cdot \vec{u} \in U$
|
||||
- vyplývá, že v podprostoru $U$ bude vždy i nulový vektor ($a = 0$)
|
||||
|
||||
Každý podprostor vektorového prostoru je také vektorovým prostorem.
|
||||
|
||||
#### Operace s podprostory
|
||||
|
||||
- Sjednocení $u_{1} \cup u_{2}$
|
||||
- Musí platit:
|
||||
- $u_{1} \subseteq u_{2}$
|
||||
- $u_{2} \subseteq u_{1}$
|
||||
|
||||
### Generující množina
|
||||
|
||||
Množina $M = \{\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \dots, \vec{v_{k}}\} \subseteq V$ generuje lineární vektorový prostor, jestliže se lineární kombinace všech prvků M rovná prostoru V, tedy $\langle M \rangle = V$.
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,39 @@
|
|||
### Báze
|
||||
|
||||
Je-li generující množina prostoru V lineárně nezávislá, jedná se také o bázi prostoru V.
|
||||
- zápis: $\text{báze }A = \{\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}\}$
|
||||
|
||||
Bázi z generující množiny zjistím tím, že vektory GM zapíšu **do sloupců** matice a provedu **GJEM**, čímž zjistím, jestli se nedá některý z vektorů **vyjádřit jako LK jiného vektoru** (tedy vyjde jako **parametr**).
|
||||
|
||||
#### Dimenze V
|
||||
|
||||
Počet prvků báze V se nazývá **dimenze V** a značí se $dim(V)$.
|
||||
|
||||
Dimenzi vypočítám **zjištěním báze**, kde **počet prvků báze** je roven **dimenzi V**.
|
||||
|
||||
#### Souřadnice v bázi
|
||||
|
||||
Jednoznačně určené koeficienty $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n} \in \mathbb{R}$ LK $v = c_{1}\vec{b_{1}}, c_{2}\vec{b_{2}}, \dots, c_{n}\vec{b_{n}}$ se nazývají **souřadnice prvku v** v bází B.
|
||||
- značí se $\widehat{v_{B}} = [c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}]^T$
|
||||
|
||||
Pořadí prvků v bázi je důležité! Při změně pořadí se změní i pořadí souřadnic:
|
||||
|
||||
$$B_{1} = \{ \vec{b_{1}}, \vec{b_{2}}, \vec{b_{3}} \} \qquad \vec{x}_{B_{1}} = [1, 2, 3]$$
|
||||
$$B_{2} = \{ \vec{b_{2}}, \vec{b_{1}}, \vec{b_{3}} \} \qquad \vec{x}_{B_{2}} = [2, 1, 3]$$
|
||||
|
||||
Souřadnice součtu dvou prvků V jsou součtem souřadnic těchto prvků.
|
||||
|
||||
$$\widehat{(\vec{v_{1}} + \vec{v_{2}})}_{B} = \widehat{\vec{v_{1}}_{B}} + \widehat{\vec{v_{2}}_{B}}$$
|
||||
$$\widehat{(\lambda \cdot\vec{v_{2}})}_{B} = \lambda \cdot \widehat{\vec{v_{2}}_{B}}$$
|
||||
|
||||
### Určení souřadnic vektoru v bázi
|
||||
|
||||
1. Bázové prvky zapíšeme do levé strany matice do sloupců.
|
||||
2. Vektor zapíšeme do pravé strany matice.
|
||||
3. Pomocí GJEM převedeme levou stranu matice do tvaru jednotkové matice.
|
||||
4. Na pravé straně máme souřadnice v zadané bázi.
|
||||
|
||||
### Lineární obal
|
||||
|
||||
- všechny lineární kombinace zadaných vektorů
|
||||
- $\langle\vec{u}; \vec{v}\rangle = \{ \lambda_{1} \cdot \vec{u} + \lambda_{2} \cdot \vec{v} \}$
|
||||
Loading…
Reference in a new issue