Doplnění poznámek z LAA

KMA LAA/1. Polynomy.md

@@ -15,6 +15,7 @@ Hodnoty $a_i$ nazýváme **koeficienty** polynomu $p(x)$.
 ### Stupeň polynomu
 
 Stupeň polynomu $p(x)$ je **nejvyšší mocnina proměnné $x$** u níž je nenulový koeficient.
+- značí se: $st(p(x))$
 
 ### Nulový polynom
 

KMA LAA/2. Matice.md

@@ -69,4 +69,8 @@ Maticí **typu m/n** nazveme soubor (tabulku) m x n prvků (čísel) $a_{ij}$ za
 	- vynásobíme všechny členy konstantou
 - **Násobení dvou matic**
 	- nekomutativní
-	- matice $A_{m/\underline{n}}$ a $B_{\underline{n}/p}$
+	- matice $A_{m/\underline{n}}$ a $B_{\underline{n}/p}$
+
+### Pivot
+
+**Pivotem** v řádku $i$ je první nenulové číslo v tomto řádku zleva.

KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md

@@ -66,6 +66,12 @@ Souřadnice součtu dvou prvků V jsou součtem souřadnic těchto prvků.
 $$\widehat{(\vec{v_{1}} + \vec{v_{2}})}_{B} = \widehat{\vec{v_{1}}_{B}} + \widehat{\vec{v_{2}}_{B}}$$
 $$\widehat{(\lambda \cdot\vec{v_{2}})}_{B} = \lambda \cdot \widehat{\vec{v_{2}}_{B}}$$
 
+### Určení souřadnic vektoru v bázi
+
+1. Bázové prvky zapíšeme do levé strany matice do sloupců.
+2. Vektor zapíšeme do pravé strany matice.
+3. Pomocí GJEM převedeme levou stranu matice do tvaru jednotkové matice.
+4. Na pravé straně máme souřadnice v zadané bázi.
 
 ### Lineární obal
 

KMA LAA/5. Hodnost matice.md

@@ -78,4 +78,23 @@ Nechť A je matice. Potom je $hod(A) = m$ právě tehdy,
 
 Nechť A je čtvercová řádu $n$. Potom $hod(A) = n$, **pokud se $\det(A)$ nerová 0**
 - **DK**: Podle předchozí věty je $hod(A) = n \iff$ v A existuje nenulový minor řádu $n$.
-- Víme, že jedinému minoru řádu $n$ odpovídá celá matice A, tedy $hod(A) = n \iff \det(A)$ **se nerovná 0**.
+- Víme, že jedinému minoru řádu $n$ odpovídá celá matice A, tedy $hod(A) = n \iff \det(A)$ **se nerovná 0**.
+
+### Inverzní matice
+
+Inverzní matice $A^{-1}$ nemusí pro matici $A$ vždy existovat. Pokud ale existuje, je jednoznačně určená.
+- $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$
+- $(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$
+
+Inverzní matice $A^{-1}$ k matici $A$ existuje pouze, pokud je matice $A$ regulární.
+
+### Adjungovaná matice
+
+Adjungovaná matice je matice $A^A$, která je poskládaná z algebraických doplňků, ale **transponovaně**.
+
+#### Určení inverzní matice pomocí determinantů
+
+Pokud je matice A regulární, je možné získat inverzní matici.
+
+$\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot A^A$
+

KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md

@@ -46,3 +46,9 @@ Nejsnadnější způsob, jak počítačově popsat lineární zobrazení.
 3. Do matice $A_{1}$ napíšu do sloupců vektory ze druhé báze.
 4. Matice **spojím** do matice $A = [A_{1} \mid A_{2}]$, kterou vyřeším pomocí GJEM.
 5. Na **levé straně** díky GJEM dostanu **jednotkovou matici** a na **pravé straně** vznikne **matice lineárního zobrazení**.
+
+### Matice přechodu
+
+Matice identického lineárního zobrazení vzhledem k bázím $B_{1}$ a $B_{2}$.
+
+Postup je stejný jako u matice lineárního zobrazení, jen prvky první báze nezobrazuji a rovnou je zapíšu do matice.

KMA LAA/9. Prostory se skalárním součinem.md

@@ -164,6 +164,12 @@ Zřejmě $\overline{\vec{x}}$ je nejbližším vektorem k $\vec{x}$ ve $V$.
 Je-li $V$ podprostorem prostoru $U$ a $\vec{x} \notin V$, potom existuje právě jeden prvek $\overline{\vec{x}}$ takový, že $\vec{x} - \overline{\vec{x}} \perp V$ a $\overline{\vec{x}} \in V$.
 - Pro každý vektor $\vec{y} \in V$ platí $\Vert \vec{x} - \vec{y} \Vert \geq \Vert \vec{x} - \overline{\vec{x}} \Vert$ a rovnost nastává, právě když $\vec{y} = \overline{\vec{x}}$.
 
+**Postup**:
+1. Potřebujeme prvky báze $\vec{b}_{i}$ prostoru, do kterého děláme prmět a prvek $\vec{z}$, jehož průmět budeme zjišťovat.
+2. Pomocí vzorečku $(\vec{b_{1}}, \vec{b_{i}}) + (\vec{b_{2}}, \vec{b_{i}}) + \dots + (\vec{b_{i}}, \vec{b_{i}}) = (\vec{z}, \vec{b_{i}})$ vytvoříme Gramovu matici.
+3. Pomocí GJEM vyřešíme levou část matice, abychom zde získali jednotkovou matici.
+4. Výsledkem je vektor v pravé části matice.
+
 ### Metoda nejmenších čtverců
 
 Metodou nejmenších čtverců je možné aproximovat funkci - najít nějakou jednodušší, která je co nejpodobnější.