Polynomy

Nechť a_0, \dots , a_n jsou komplexní čísla, n \geq 0 přirozené.

Polynomem (mnohočlenem) p proměnné x nazýváme předpis

p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + . . . + a_{1}x + a_0 \ \ \ \forall x \in C, a_{n} \neq 0

neboli

\displaystyle p(x) = \sum^n_{i=0} a_{i}x^i.

Hodnoty a_i nazýváme koeficienty polynomu p(x).

Stupeň polynomu

Stupeň polynomu p(x) je nejvyšší mocnina proměnné $x$ u níž je nenulový koeficient.

značí se: st(p(x))

Nulový polynom

Nulový polynom je polynom, který má všechny koeficienty rovny 0.

Operace s polynomy

Rovnost: p(x) = q(x)
- p(x) = 3x^2 - 8x + 6
- q(x) = 6 - 3x^2 - 8x + 6x^2
Opačný polynom: -p(x)
- p(x) = 3x^2 - 8x + 6
- -p(x) = -3x^2 + 8x - 6
Součet: p(x) + q(x)
- p(x) + q(x) = 6x^2 - 16x + 12
Rozdíl: p(x) - q(x)
- p(x) - q(x) = u(x) = o
k-násobek: k \times p(x)
- -3 \times p(x) = -9x^2 + 24x - 18
Součin: p(x) \times q(x)
- p(x) \times q(x) = 9x^4 - 48x^3 + 100x^2 - 96x + 36
Podíl: \frac{p(x)}{q(x)}
- písemné dělení

Funkční hodnota v bodě

Hornerovo schématem, kde c je požadovaná hodnota.

Kořen

Nechť p(x) je polynom proměnné x. Číslo c \in C takové, že p(c) = 0 nazveme kořenem polynomu p(x).

Každý polynom stupně alespoň 1 má v C alespoň jeden kořen.

Je-li c kořenem polynomu p(x), pak p(x) = s(x) (x - c), kde st(s(x)) = st(p(x)) - 1.

Komplexní rozklad na součin kořenových činitelů

Každý polynom p(x) stupně n lze vyjádřit ve tvaru p(x) = (x - c_1)(x - c_2)(x - c_3) \dots (x - c_n), kde c_1, c_2, \dots c_n jsou všechny kořeny polynomu p(x).

Hodnoty c_1, c_2, \dots, c_n nemusí být nutně navzájem různé. Každý polynom stupně n \ge 1 má v C právě n kořenů.

Reálný rozklad na součin kořenových činitelů

Sdružíme-li dvojice komplexně sdružených kořenů a následně jejich kořenové činitele roznásobíme, získáme reálný rozklad na součin kořenových činitelů.

Polynom p(x) pak je ve tvaru

p(x)$ = $a_n(x-c_1)(x-c_2) \dots (x-c_k)(x^2+u_1x+v_1)(x^2+u_2x+v_2) \dots (x^2+u_mx+v_m),

kde c_1, c_2, \dots, c_k jsou reálné kořeny polynomu p(x), b_1, \overline{b_1}, b_2, \overline{b_2}, \dots, b_m, \overline{b_m} jsou všechny dvojice komplexně sdružených kořenů p(x) a x^2 + u_ix + v_i = (x - b_i)(x - \overline{b_i}).

Speciální typy polynomů

binomické
- x^n + a_0 - přes vzorce a^2 - b^2, a^3 ± b^3 atd., nebo přes $n$-tou odmocninu a_0
reciproké
- platí, že a_{n-i} = a_i pro všechna i, nebo a_{n-i} = -a_i pro všechna i - kořeny ±1, substituce y = x + 1/x
trinomické
- a_{2k}x^{2k} + a_{k}x^k + a_{0} - substituce typu y = x^k

2.8 KiB Raw Permalink Blame History