FAV-ZCU/KMA LAA/10. Kvadratické formy.md

Kvadratické formy

Kvadratická forma

• A => reálná symetrická matice řádu n
• kvadratická forma určená maticí A je zobrazení \kappa (x) = x^{T}Ax
• nechť A je reálná symetrická matice =>
  • 1. všechna vlastní čísla matice A jsou reálná
  • 2. ke každému vlastnímu číslu existuje reálný vlastní vektor
  • 3. vlastní vektory příslušející různým vlastním číslům jsou ortogonální
• reálná symetrická matice A řádu n má n ortogonálních reálných vlastních vektorů

Zákon setrvačnosti kvadratických forem

• je-li kvadratická forma vyjádřena dvěma způsoby jako lineární kombinace čtverců souřadnic vzhledem ke dvěma bázím => v obou vyjádřeních je stejný počet kladných, záporných i nulových koeficientů

Inercie kvadratické formy

• Nechť \kappa (x) = x^{T}Ax je kvadratická forma, A reálná symetrická matice
  • k - počet kladných čísel A
  • z - počet záporných čísel A
  • d - počet nulových čísel A
• trojici čísel (k, z, d) nazýváme inercií kvadratické formy
• značíme in( \kappa ) = (k, z, d)

Druhy inercií

• pozitivně definitní => in( \kappa ) = (k, 0, 0)
• negativně definitní => in( \kappa ) = (0, z, 0)
• pozitivně semidefinitní => in( \kappa ) = (k, 0, d), d > 0
• negativně semidefinitní => in( \kappa ) = (0, z, d), d > 0
• indefinitní => in( \kappa ) = (k, z, d)
  • k > 0, z > 0

Hlavní minory

• Nechť A = [ a_{ij} ] reálná symetrická matice řádu n a A_k je její podmatice obsahující prvky a_{11}, a_{12}, ..., a_{kk} => číslo det($A_k$) nazveme hlavním minorem matice A řádu k a značí se \Delta _{k}

Definitnost kvadratické formy (Sylvestorovo kriterium)

• Nechť A reálná symetrická matice řádu n s hlavními minory \Delta _{1}, \Delta _{2}, ... , \Delta _{n} \neq 0
• Kvadratická forma \kappa (x) = x^{T}Ax je pozitivně definitní => \Delta _{i} > 0 pro každé i z {1, 2, ..., n}
• Kvadratická forma \kappa (x) = x^{T}Ax je negativně definitní => \Delta _{i} > 0 pro každé i z {1, 2, ..., n} sudé a \Delta _{i} < 0 pro každé i z {1, 2, ..., n} liché