FAV-ZCU/KMA M1/3. Nekonečné řady.md

Nekonečné řady

Mějme dánu posloupnost (a_{n}) reálných čísel.

Nekonečná řada je symbol \displaystyle\quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n},\quad kterým označujeme výraz a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots.

Posloupnost částečných součtů

Posloupnost částečných součtů řady \displaystyle\quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}\quad je posloupnost (s_n), kde $$ \begin{matrix} s_{1} = a_{1} \ s_{2} = a_{1} + a_{2} \ s_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3} \ \vdots \ s_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n} \end{matrix}

Čísla a_{n} jsou členy řady, čísla s_{n} jsou částečné součty řady. Pokud existuje limita \lim_{ n \to \infty }{s_{n} = s \in \mathbb{R}^*}, potom řada \displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}\quad má součet s a tuto skutečnost zapisujeme jako \displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} = s.

Konvergence a divergence

Mějme dánu řadu \displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}\quad a nechť (s_{n}) je její posloupnost částečných součtů. Řada \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} je

značka	typ	podmínka
K	konvergentní	(s_n) konverguje
D	divergentní	(s_{n}) diverguje
	divergentní k \pm\infty	(s_{n}) diverguje k \pm\infty

Pro geometrickou řadu \displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} q^{n-1} = 1 + q + q^2 + q^3 + \dots\quad platí

$$ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} q^{k-1} = \begin{cases} & \displaystyle\frac{1-q^n}{1-q} & \text{pro } q \neq 1, \ & n & \text{pro } q = 1, \end{cases}

$$ \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} q^{n-1} \begin{cases} & = \displaystyle\frac{1}{1-q} & \text{pro } \vert q\vert < 1, \ & = +\infty & \text{pro } q \geq 1, \ & \text{diverguje} & \text{pro } q \leq -1. \end{cases}

Je-li \displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}, \quad\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}, \quad a,b \in \mathbb{R}^*, \quad c,d \in \mathbb{R}, \quad potom platí

$$ \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (c \cdot a_{n} + d \cdot b_{n}) = c \cdot a + d \cdot b

pokud je výraz (c \cdot a + d \cdot b) definován v \mathbb{R}^* (tj. pokud není neurčitým výrazem).

Nutná podmínka konvergence řady

Je-li řada \displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}\quad konvergentní, potom \displaystyle\lim_{ n \to \infty }{a_{n}} = 0.

Poznámka: Řada \displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^\alpha}\quad konverguje pro \alpha > 1 a diverguje pro \alpha \leq 1.

Kritéria

Srovnávací kritérium

Mějme dvě řady \sum a_{n}, \sum b_{n} takové, že \forall \, n \in \mathbb{N} : 0 \leq a_{n} \leq b_{n}.

1. Jestliže řada \sum b_{n} konverguje, potom konverguje také řada \sum a_{n}.
2. Jestliže řada \sum a_{n} diverguje, potom diverguje také řada \sum b_{n}.

Limitní srovnávací kritérium

Mějme dánu řadu \sum a_{n} s nezápornými členy a řadu \sum b_{n} s kladnými členy. Pokud existuje vlastní limita \displaystyle\quad\lim_{ n \to \infty }{\frac{a_{n}}{b_{n}}} > 0,\quad potom platí:

1. Řada \sum a_{n} konverguje právě tehdy, když řada \sum b_{n} konverguje.
2. Řada \sum a_{n} diverguje právě tehdy, když řada \sum b_{n} diverguje.

d’Alembertovo kritérium

Mějme dánu řadu \sum a_{n} s kladnými členy.

1. Jestliže existuje q \in (0, 1) takové, že \displaystyle\quad\forall \, n \in \mathbb{N} : \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \leq q \leq 1, \quad potom řada \sum a_{n} konverguje.
2. Jestliže \displaystyle\quad\forall \, n \in \mathbb{N} : \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \geq 1, \quad potom řada \sum a_{n} diverguje.

Limitní d’Alembertovo kritérium

Mějme dánu řadu \sum a_{n} s kladnými členy a nechť existuje limita \displaystyle\lim_{ n \to \infty }{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}.

1. Jestliže \displaystyle\lim_{ n \to \infty }{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}} < 1, potom řada \sum a_{n} konverguje.
2. Jestliže \displaystyle\lim_{ n \to \infty }{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}} > 1, potom řada \sum a_{n} diverguje.

Cauchyovo kritérium

Mějme dánu řadu \sum a_{n} s nezápornými členy.

1. Jestliže existuje q \in (0,1) takové, že \forall \, n \in \mathbb{N} : \sqrt[n]{a_{n}} \leq q < 1, potom řada \sum a_{n} konverguje.
2. Jestliže \forall \, n \in \mathbb{N} : \sqrt[n]{ a_{n} } \geq 1, potom řada \sum a_{n} diverguje.

Limitní Cauchyho kritérium

Mějme dánu řadu \sum a_{n} s nezápornými členy a nechť existuje limita \lim_{ n \to \infty }{\sqrt[n]{ a_{n} }}.

1. Jestliže \displaystyle\lim_{ n \to \infty } \sqrt[n]{ a_{n} } < 1, potom řada \sum a_{n} konverguje.
2. Jestliže \displaystyle\lim_{ n \to \infty } \sqrt[n]{ a_{n} } > 1, potom řada \sum a_{n} diverguje.

Absolutní a relativní konvergence

Jestliže řada \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \vert a_{n}\vert konverguje, potom konverguje také řada \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}.

Řekneme, že řada \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} je

typ	podmínka
absolutně konvergentní	řada \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \vert a_{n}\vert konverguje
relativně konvergentní	řada \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} konverguje, řada \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \vert a_{n}\vert diverguje

Alternující řada

Mějme dánu posloupnost (a_{n}) kladných čísel. Řada \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} \cdot a_{n} = a_{1} - a_{2} + a_{3} - \dots se nazývá alternující řada.

Leibnizovo kritérium

Nechť \forall \, n \in \mathbb{N} : 0 < a_{n+1} \leq a_{n} a \displaystyle\lim_{ n \to \infty } a_{n} = 0.

Potom alternující řada \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} \cdot a_{n} konverguje.