FAV-ZCU/KMA NM/Poznámky.md

Nelineární rovnice

Předpokládáme, že

1. reálná funkce f je spojitá pro x \in \langle a, b\rangle,
2. f(a) \cdot f(b) < 0.

Potom existuje aspoň jedno řešení x rovnice f(x) = 0 na \langle a,b\rangle.

Metoda půlení intervalu

Máme interval \langle a,b\rangle, který budeme půlit. Vypočítáme funkční hodnotu f(s_{i}) v polovině intervalu.

Pokud má funkční hodnota f(s_{i}) stejné znaménko jako funkční hodnota f(a), změníme a = s_{i}, v opačném případě b = s_{i}.

• zastavovací podmínka - velikost intervalu
• výsledek je x = \frac{a+b}{2}
• vždy konverguje, ale velmi pomalu

Metoda prosté iterace

Postup

1. z rovnice vyjádříme některé x
   • x^5 - x = \ln(x+4) do formátu x_{k+1} = \sqrt[5]{ \ln(x_{k}+4) + x_{k} }
2. určíme/dostaneme zadaný \epsilon a x_{0}
   • \epsilon = 0.01
   • x_{0} = 1
3. dosazujeme hodnoty do rovnice, dokud nenastane zastavující podmínka
   • \vert x_{k} - x_{k-1} \vert < \epsilon

k	x_k	\vert x_{k} - x_{k-1}\vert
0	1	-
1	1,211460877	0,211460877
2	1,234081012	0,022620135
3	1,236396294	0,002315282

Postačující podmínky konvergence. Funkce \varphi na intervalu I = \langle a,b\rangle je spojitá a platí:

• \forall x \in I : \varphi(x) \in I (funkce \varphi zobrazuje I do sebe)
• \exists q \in \langle 0, 1) : \vert \varphi(x) - \varphi(y)\vert \leq q\vert x-y\vert \quad \forall x, y \in I (funkce \varphi je kontrakce)

Newtonova metoda

• x_{0} = 1.236396294
  • z metody prosté iterace nebo zadáno
• f(x) = x^5 - x - \ln(x+4)
  • vše převedeme na jednu stranu rovnice
• f'(x) = 5x^4 - 1 - \frac{1}{x+4}
  • derivací funkce f(x) = x^5 - x - \ln(x+4)

Hodnotu poté x_{0} zpřesňujeme vzorcem x_{k+1} = x_{k} - \frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}

• zastavovací podmínka \vert x_{k+1} − x_k\vert < \epsilon nebo \vert f(x_k)\vert < \delta

Geometrický význam

• také metoda tečen nebo metoda linearizace
• tvoříme tečny funkce v bodech x_{k}
• hodnota x_{k+1} je průsečíkem tečny s osou x

Modifikovaná Newtonova metoda

• pokud se derivace moc nemění, můžeme místo f'(x_{k}) využívat f'(x_{0})
• tečnou je pouze první přímka, ty následující jsou na ni kolmé

Metoda sečen

• je i pro nediferencovatelné funkce
• f'(x_{k}) nahradíme za \frac{f(x_{k}) - f(x_{k-1})}{x_{k}-x_{k-1}}
• potřebujeme znát dvě počáteční hodnoty
• další iterace x_{k+1} je průsečíkem sečny s osou x

Soustava lineárních rovnic

Jacobiova metoda

$$ A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \ 1 & 4 & 0 \ 0 & 1 & 5 \end{bmatrix} \qquad b = \begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{bmatrix} \qquad x_{0} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}

1. kontrola diagonální dominance
   • \vert 3\vert > \vert 1\vert + \vert 0\vert
   • \vert 4\vert > \vert 1\vert + \vert 0\vert
   • \vert 5\vert > \vert 0\vert + \vert 1\vert
2. sestavení rovnic a vyjádření x, y, z
   • 3x + y = 1
     • \to x = \frac{1}{3}(1 - y)
   • x + 4y = 2
     • \to y = \frac{1}{4}(2 - x)
   • y + 5z = 3
     • \to z = \frac{1}{5}(3 - y)

k	0.	1.	2.	3.	4.
x	0	0.333333333	0.166666667	0.194444444	0.180555556
y	0	0.5	0.416666667	0.458333333	0.451388889
z	0	0.6	0.5	0.516666667	0.508333333

Gauss-Seidelova metoda

Stejná, jako Jacobiova metoda, ale rovnou používáme s vypočítanými hodnotami.

• provedeme výpočet pro x = \dots, takže už ve výpočtu y použijeme nové x

Sestavení rovnice

• x^{(k+1)} = \frac{1}{3}(1 - y^{(k)})
• y^{(k+1)} = \frac{1}{4}(2 - x^{(k+1)})
• z^{(k+1)} = \frac{1}{5}(3 - y^{(k+1)})

k	0.	1.	2.	3.
x	0	0.333333333	0.194444444	0.18287037
y	0	0.416666667	0.451388889	0.454282407
z	0	0.516666667	0.509722222	0.509143519

Metoda SOR

Tato metoda vychází z GS metody, akorát navíc přidává relaxační koeficient \omega \in (0,2).

• \omega = 1 - jedná se o GS metodu
• \omega \in (0,1) - jedná se o metodu SUR
• \omega \in (1,2) - jedná se o metodu SOR

Postup

1. kontrola diagonální dominance
2. sestavení rovnic GS metody
3. přidání relaxačního koeficientu
   • x^{(k+1)} = \omega \cdot [\frac{1}{3}(1 - y^{(k)})] + (1 - \omega)x^{(k)}
   • y^{(k+1)} = \omega \cdot [\frac{1}{4}(2 - x^{(k+1)})] + (1 - \omega)y^{(k)}
   • z^{(k+1)} = \omega \cdot [\frac{1}{5}(3 - y^{(k+1)})] + (1 - \omega)z^{(k)}

Zvolíme \omega = 1.05, \epsilon = 0.01.

k	0.	1.	2.
x	0	0.35	0.18090625
y	0	0.433125	0.455855859
z	0	0.53904375	0.507318082