144 lines
5.1 KiB
Markdown
144 lines
5.1 KiB
Markdown
## Nelineární rovnice
|
||
|
||
Předpokládáme, že
|
||
1. reálná funkce $f$ je spojitá pro $x \in \langle a, b\rangle$,
|
||
2. $f(a) \cdot f(b) < 0$.
|
||
|
||
Potom existuje aspoň jedno řešení $x$ rovnice $f(x) = 0$ na $\langle a,b\rangle$.
|
||
|
||
### Metoda půlení intervalu
|
||
|
||
Máme interval $\langle a,b\rangle$, který budeme půlit. Vypočítáme funkční hodnotu $f(s_{i})$ v polovině intervalu.
|
||
|
||
Pokud má funkční hodnota $f(s_{i})$ **stejné znaménko** jako funkční hodnota $f(a)$, změníme $a = s_{i}$, v opačném případě $b = s_{i}$.
|
||
|
||
- zastavovací podmínka - velikost intervalu
|
||
- výsledek je $x = \frac{a+b}{2}$
|
||
- vždy konverguje, ale velmi pomalu
|
||
|
||
### Metoda prosté iterace
|
||
|
||
Postup
|
||
1. z rovnice vyjádříme některé $x$
|
||
- $x^5 - x = \ln(x+4)$ do formátu $x_{k+1} = \sqrt[5]{ \ln(x_{k}+4) + x_{k} }$
|
||
2. určíme/dostaneme zadaný $\epsilon$ a $x_{0}$
|
||
- $\epsilon = 0.01$
|
||
- $x_{0} = 1$
|
||
3. dosazujeme hodnoty do rovnice, dokud nenastane zastavující podmínka
|
||
- $\vert x_{k} - x_{k-1} \vert < \epsilon$
|
||
|
||
| $k$ | $x_k$ | $\vert x_{k} - x_{k-1}\vert$ |
|
||
| --- | ----------- | ---------------------------- |
|
||
| 0 | 1 | - |
|
||
| 1 | 1,211460877 | 0,211460877 |
|
||
| 2 | 1,234081012 | 0,022620135 |
|
||
| 3 | 1,236396294 | 0,002315282 |
|
||
|
||
Postačující podmínky konvergence. Funkce $\varphi$ na intervalu $I = \langle a,b\rangle$ je spojitá a platí:
|
||
- $\forall x \in I : \varphi(x) \in I$ (funkce $\varphi$ zobrazuje $I$ do sebe)
|
||
- $\exists q \in \langle 0, 1) : \vert \varphi(x) - \varphi(y)\vert \leq q\vert x-y\vert \quad \forall x, y \in I$ (funkce $\varphi$ je kontrakce)
|
||
|
||
### Newtonova metoda
|
||
|
||
- $x_{0} = 1.236396294$
|
||
- z metody prosté iterace nebo zadáno
|
||
- $f(x) = x^5 - x - \ln(x+4)$
|
||
- vše převedeme na jednu stranu rovnice
|
||
- $f'(x) = 5x^4 - 1 - \frac{1}{x+4}$
|
||
- derivací funkce $f(x) = x^5 - x - \ln(x+4)$
|
||
|
||
Hodnotu poté $x_{0}$ zpřesňujeme vzorcem $x_{k+1} = x_{k} - \frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}$
|
||
- zastavovací podmínka $\vert x_{k+1} − x_k\vert < \epsilon$ nebo $\vert f(x_k)\vert < \delta$
|
||
|
||
**Geometrický význam**
|
||
- také metoda tečen nebo metoda linearizace
|
||
- tvoříme tečny funkce v bodech $x_{k}$
|
||
- hodnota $x_{k+1}$ je průsečíkem tečny s osou $x$
|
||
|
||
Modifikovaná Newtonova metoda
|
||
- pokud se derivace moc nemění, můžeme místo $f'(x_{k})$ využívat $f'(x_{0})$
|
||
- tečnou je pouze první přímka, ty následující jsou na ni kolmé
|
||
|
||
Metoda sečen
|
||
- je i pro nediferencovatelné funkce
|
||
- $f'(x_{k})$ nahradíme za $\frac{f(x_{k}) - f(x_{k-1})}{x_{k}-x_{k-1}}$
|
||
- potřebujeme znát dvě počáteční hodnoty
|
||
- další iterace $x_{k+1}$ je průsečíkem sečny s osou $x$
|
||
|
||
## Soustava lineárních rovnic
|
||
|
||
### Jacobiova metoda
|
||
|
||
$$
|
||
A = \begin{bmatrix}
|
||
3 & 1 & 0 \\
|
||
1 & 4 & 0 \\
|
||
0 & 1 & 5
|
||
\end{bmatrix} \qquad b = \begin{bmatrix}
|
||
1 \\
|
||
2 \\
|
||
3
|
||
\end{bmatrix} \qquad x_{0} = \begin{bmatrix}
|
||
0 \\
|
||
0 \\
|
||
0
|
||
\end{bmatrix}
|
||
$$
|
||
|
||
1. kontrola diagonální dominance
|
||
- $\vert 3\vert > \vert 1\vert + \vert 0\vert$
|
||
- $\vert 4\vert > \vert 1\vert + \vert 0\vert$
|
||
- $\vert 5\vert > \vert 0\vert + \vert 1\vert$
|
||
2. sestavení rovnic a vyjádření $x, y, z$
|
||
- $3x + y = 1$
|
||
- $\to x = \frac{1}{3}(1 - y)$
|
||
- $x + 4y = 2$
|
||
- $\to y = \frac{1}{4}(2 - x)$
|
||
- $y + 5z = 3$
|
||
- $\to z = \frac{1}{5}(3 - y)$
|
||
|
||
| k | 0. | 1. | 2. | 3. | 4. |
|
||
| --- | --- | ------------- | ------------- | ------------- | ------------- |
|
||
| x | $0$ | $0.333333333$ | $0.166666667$ | $0.194444444$ | $0.180555556$ |
|
||
| y | $0$ | $0.5$ | $0.416666667$ | $0.458333333$ | $0.451388889$ |
|
||
| z | $0$ | $0.6$ | $0.5$ | $0.516666667$ | $0.508333333$ |
|
||
|
||
### Gauss-Seidelova metoda
|
||
|
||
Stejná, jako Jacobiova metoda, ale rovnou používáme s vypočítanými hodnotami.
|
||
- provedeme výpočet pro $x = \dots$, takže už ve výpočtu $y$ použijeme nové $x$
|
||
|
||
Sestavení rovnice
|
||
- $x^{(k+1)} = \frac{1}{3}(1 - y^{(k)})$
|
||
- $y^{(k+1)} = \frac{1}{4}(2 - x^{(k+1)})$
|
||
- $z^{(k+1)} = \frac{1}{5}(3 - y^{(k+1)})$
|
||
|
||
| k | 0. | 1. | 2. | 3. |
|
||
| --- | --- | ------------- | ------------- | ------------- |
|
||
| x | $0$ | $0.333333333$ | $0.194444444$ | $0.18287037$ |
|
||
| y | $0$ | $0.416666667$ | $0.451388889$ | $0.454282407$ |
|
||
| z | $0$ | $0.516666667$ | $0.509722222$ | $0.509143519$ |
|
||
|
||
### Metoda SOR
|
||
|
||
Tato metoda vychází z GS metody, akorát navíc přidává relaxační koeficient $\omega \in (0,2)$.
|
||
- $\omega = 1$ - jedná se o GS metodu
|
||
- $\omega \in (0,1)$ - jedná se o metodu SUR
|
||
- $\omega \in (1,2)$ - jedná se o metodu SOR
|
||
|
||
Postup
|
||
1. kontrola diagonální dominance
|
||
2. sestavení rovnic GS metody
|
||
3. přidání relaxačního koeficientu
|
||
- $x^{(k+1)} = \omega \cdot [\frac{1}{3}(1 - y^{(k)})] + (1 - \omega)x^{(k)}$
|
||
- $y^{(k+1)} = \omega \cdot [\frac{1}{4}(2 - x^{(k+1)})] + (1 - \omega)y^{(k)}$
|
||
- $z^{(k+1)} = \omega \cdot [\frac{1}{5}(3 - y^{(k+1)})] + (1 - \omega)z^{(k)}$
|
||
|
||
Zvolíme $\omega = 1.05, \epsilon = 0.01$.
|
||
|
||
| k | 0. | 1. | 2. |
|
||
| --- | --- | ------------ | ------------- |
|
||
| x | $0$ | $0.35$ | $0.18090625$ |
|
||
| y | $0$ | $0.433125$ | $0.455855859$ |
|
||
| z | $0$ | $0.53904375$ | $0.507318082$ |
|