1.5 KiB
Zadání
Spočtěte délku matematického sekundového kyvadla, víte-li, že jeho výchylka klesne, nejsou-li hrazeny energetické ztráty, za 5 minut na 1/10. Jakému logaritmickému dekrementu to odpovídá? (Uvažujeme malé kmity)
T^M_{kyv} = 1 \, \text{s}t = 5 \, \text{min}A(t) = \frac{A_{0}}{10} \to \frac{A_{0}}{A(t)} = 10\delta = \text{?}... logaritmický dekrement- obr. z příkladu 9
\omega^2_{1} = \omega^2 - b^2\omega^2_{1}- úhlová frekvence tlumených kyvů\omega^2 = \frac{g}{l}- úhlová frekvence netlumených kyvůb^2- koeficient/faktor útlumu
w^2_{1} = \frac{\pi}{T^{kyv}_{1}} = \piT^{kyv}_{1} = 1 \, \text{s}
Výpočet
A(t) = A_{0} \cdot e^{-bt} \implies \frac{A(t)}{A_{0}} = e^{-bt}
\ln\left( \frac{A(t)}{A_{0}} \right) = -bt
b = -\frac{1}{t} \cdot \ln\left( \frac{A(t)}{A_{0}} \right)
b = \frac{1}{t} \cdot \ln\left( \frac{A_{0}}{A(t)} \right)
\varphi(t) = A_{0} \cdot e^{-bt} \cdot \sin (\omega_{1}\cdot t)
A_{0} \cdot e^{-bt} = A(t)
\displaystyle \pi^2 = \frac{g}{l} - \frac{1}{t^2} \cdot \ln^2\left( \frac{A_{0}}{A(t)} \right)
\displaystyle \pi^2 + \frac{1}{t^2} \cdot \ln^2\left( \frac{A_{0}}{A(t)} \right) = \frac{g}{l}
\displaystyle l = \frac{g}{\pi^2 + \frac{1}{t^2} \cdot \ln^2\left( \frac{A_{0}}{A(t)} \right)}
Výsledek
\displaystyle l = \frac{9.81}{\pi^2 + \frac{1}{(5 \cdot 60)^2} \cdot \ln^2(10)} \, \text{m} = 0.994 \, \text{m}