Přidání 10. příkladu z FYI

KFY FYI1/Priklad10.md

@@ -0,0 +1,43 @@
+### Zadání
+
+Spočtěte délku matematického sekundového kyvadla, víte-li, že jeho výchylka klesne, nejsou-li hrazeny energetické ztráty, za 5 minut na 1/10. Jakému logaritmickému dekrementu to odpovídá? (Uvažujeme malé kmity)
+
+- $T^M_{kyv} = 1 \, \text{s}$
+- $t = 5 \, \text{min}$
+- $A(t) = \frac{A_{0}}{10} \to \frac{A_{0}}{A(t)} = 10$
+- $\delta = \text{?}$ ... logaritmický dekrement
+- obr. z příkladu 9
+
+![](_assets/priklad9.svg)
+
+- $\omega^2_{1} = \omega^2 - b^2$
+	- $\omega^2_{1}$ - úhlová frekvence tlumených kyvů
+	- $\omega^2 = \frac{g}{l}$ - úhlová frekvence netlumených kyvů
+	- $b^2$ - koeficient/faktor útlumu
+- $w^2_{1} = \frac{\pi}{T^{kyv}_{1}} = \pi$
+	- $T^{kyv}_{1} = 1 \, \text{s}$
+
+![](_assets/priklad10.svg)
+
+### Výpočet
+
+$A(t) = A_{0} \cdot e^{-bt} \implies \frac{A(t)}{A_{0}} = e^{-bt}$
+
+$\ln\left( \frac{A(t)}{A_{0}} \right) = -bt$
+
+$b = -\frac{1}{t} \cdot \ln\left( \frac{A(t)}{A_{0}} \right)$
+
+$b = \frac{1}{t} \cdot \ln\left( \frac{A_{0}}{A(t)} \right)$
+
+$\varphi(t) = A_{0} \cdot e^{-bt} \cdot \sin (\omega_{1}\cdot t)$
+- $A_{0} \cdot e^{-bt} = A(t)$
+
+$\displaystyle \pi^2 = \frac{g}{l} - \frac{1}{t^2} \cdot \ln^2\left( \frac{A_{0}}{A(t)} \right)$
+
+$\displaystyle \pi^2 + \frac{1}{t^2} \cdot \ln^2\left( \frac{A_{0}}{A(t)} \right) = \frac{g}{l}$
+
+$\displaystyle l = \frac{g}{\pi^2 + \frac{1}{t^2} \cdot \ln^2\left( \frac{A_{0}}{A(t)} \right)}$
+
+### Výsledek
+
+$\displaystyle l = \frac{9.81}{\pi^2 + \frac{1}{(5 \cdot 60)^2} \cdot \ln^2(10)} \, \text{m} = 0.994 \, \text{m}$