FAV-ZCU/KFY FYI1/Priklad02.md

Zadání

Podél rovnoměrně se otáčející tyče se od jejího upevnění rovnoměrně pohybuje kulička. Určete: parametrické rovnice dráhy kuličky, velikost rychlosti kuličky a její celkové, tečné a normálové zrychlení.

• \omega = \text{konst.} (úhlová rychlost, rotace tyče)
• v_{0} = \text{konst.} (rychlost kuličky podél tyče)
• parametrická rovnice trajektorie kuličky = ?
• velikost rychlosti kuličky v = ?
• celkové ($a = \ ?$), tečné ($a_{t} = \ ?$) a normálové ($a_{n} = \ ?$) zrychlení

Výpočet

Parametrické rovnice dráhy kuličky

• \alpha = \omega \cdot t, \quad v = v_{0}\cdot t
• x = v \cdot \cos \alpha = v \cdot \cos(\omega t) = v_{0} \cdot t \cdot \cos(\omega t)
• y = v \cdot \sin \alpha = v \cdot \sin(\omega t) = v_{0} \cdot t \cdot \sin(\omega t)

Velikost rychlosti kuličky

• v_{x} = \frac{dx}{dt} = v_{0} \cdot \cos(\omega t) - v_{0} \cdot t \cdot \omega \cdot \sin(\omega t)
• v_{y} = \frac{dy}{dt} = v_{0} \cdot \sin(\omega t) + v_{0} \cdot t \cdot \omega \cdot \cos(\omega t)
• výsledná rychlost kuličky: v = \sqrt{ v_{x}^2 + v_{y}^2 }

Zkrácení vzorce pro v

v = \sqrt{ v_{x}^2 + v_{y}^2 }

pod odmocninou máme

• v_{0}^2\cos^2(\omega t) \cancel{- 2v_{0}\cos(\omega t)v_{0}t\omega \sin(\omega t)} + v_{0}^2t^2\omega^2\sin^2(\omega t) +
• v_{0}^2\sin^2(\omega t) \cancel{+ 2v_{0}\sin(\omega t)v_{0}t\omega \cos(\omega t)} + v_{0}^2t^2\omega^2\cos^2(\omega t)

v = \sqrt{ v_{0}^2[\cos^2(\omega t) + \sin^2(\omega t)] + v_{0}^2t^2\omega^2[\cos^2(\omega t) + \sin^2(\omega t)] }

• hodnoty v hranatých závorkách rovny 1

v = \sqrt{ v_{0}^2 + v_{0}^2t^2\omega^2 } = v_{0}\sqrt{ 1+(t\omega)^2 }

Zrychlení

\displaystyle a_x = \frac{dv_{x}}{dt} = - v_{0}\omega \sin(\omega t) - v_{0}\omega \sin(\omega t) - v_{0}t\omega^2\cos(\omega t) = -2v_{0}\omega \sin(\omega t) - v_{0}t\omega^2\cos(\omega t)

\displaystyle a_{y} = \frac{dv_{y}}{dt} = v_{0}\omega \cos(\omega t) + v_{0}\omega \cos(\omega t) - v_{0}t\omega^2\sin(\omega t) = 2v_{0}\omega \cos(\omega t) - v_{0}t\omega^2\sin(\omega t)

a = \sqrt{ a_{x}^2 + a_{y}^2 } - celkové zrychlení

Výsledek

\displaystyle a = \sqrt{ a_{t}^2 + a_{n}^2 } = \sqrt{ 4 v_{0}^2 \cdot \omega^2 + (v_{0} \cdot \omega^2 t)^2 } = v_{0} \cdot \omega \cdot \sqrt{ 4 + (\omega t)^2 }

\displaystyle a_{t} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}[ v_{0} \cdot \sqrt{ 1 + (\omega t)^2 } ] = v_{0} \cdot \frac{1}{\cancel{2}}[1 + (\omega t)^2]^\frac{-1}{2} \cdot \cancel{2}(\omega t) \cdot \omega = \frac{v_{0} \cdot \omega^2 \cdot t}{\sqrt{ 1+(\omega t)^2 }}

\displaystyle a_{n} = \frac{v^2}{R} \quad R neznáme, ale známe \displaystyle a = \sqrt{ a^2_{t} + a^2_{n} }

\displaystyle a_{n} = \sqrt{ a^2 - a^2_{t} } = \sqrt{ v_{0}^2 \cdot \omega^2 \cdot [4 + (\omega t)^2] - \frac{v_{0}^2 \cdot \omega^4 \cdot t^2}{1 + (\omega t)^2} } = \dots = \frac{v_{0} \cdot \omega \cdot [2 + (\omega t)^2]}{\sqrt{ 1 + (\omega t)^2 }}