FAV-ZCU/KFY FYI1/Priklad07.md

Zadání

Homogenní válec o poloměru R a hmotnosti m se beze smyku valí po nakloněné rovině ve směru spádnice. Délka nakloněné roviny je s, úhel jejího sklonu je α. V nejvyšším bodě byl válec v klidu a pohybuje se jen vlivem vlastní tíhy. Vypočítejte, jakou rychlost bude mít těžiště válce při opuštění nakloněné roviny.

• R - poloměr válce
• m - hmotnost válce
• s - délka nakloněné roviny (NR)
• \alpha - úhel sklonu NR
• v = \, ? - rychlost válce

tíhové pole \to konzervativní \implies zákon zachování mechanické energie

• W_{kin} + W_{pot} = \text{konst.}
• musí tedy platit W_{kin1}+W_{pot1} = W_{kin2}+W_{pot2}
  • v místech 1 (nahoře) a 2 (dole)

výška

• h = \sin \alpha \cdot s (viz. obrázek)

pro valení válce bez prokluzu platí

• v \cdot T = 2\pi R
  • T - perioda jednoho otočení
  • upravíme na tvar níže

• \displaystyle \frac{v}{R} = \frac{2\pi}{T} = \omega (úhlová rychlost)

• J = \frac{1}{2} m R^2

Výpočet

upravíme vzorec

• \emptyset + m \cdot g \cdot h = \left( \frac{1}{2}m \cdot v^2 \right) + \left( \frac{1}{2}J \cdot \omega^2 \right) + \emptyset
• m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}J\omega^2
  • dosadíme za J, \omega

upravujeme a poté vyjádříme v^2

• m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}m \cdot R^2 \right)\cdot\left( \frac{v}{R} \right)^2
• \cancel{m} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2}\cancel{m}v^2 + \frac{1}{4}\cancel{m \cdot R^2} \cdot \frac{v^2}{\cancel{R^2}}

• g \cdot h = \frac{3}{4}v^2 \implies v^2 = \frac{4}{3}gh

Výsledek

v^2 = \frac{4}{3}gh = \frac{4}{3} g \cdot s \cdot \sin \alpha

v = \sqrt{ \frac{4}{3} \cdot g \cdot s \cdot \sin \alpha }