39 lines
1.7 KiB
Markdown
39 lines
1.7 KiB
Markdown
# Acyklické grafy
|
|
|
|
Graf $\vec{G}$ je **acyklický**, jestliže $\vec{G}$ neobsahuje jako podgraf žádný cyklus.
|
|
|
|
**Sledová relace** $x \sim y$ na vrcholech $x, y \in V(\vec{G})$ acyklického orientovaného grafu:
|
|
- reflexivní
|
|
- $x \sim x$ - sled nulové délky
|
|
- antisymetrická
|
|
- $x \sim y \wedge y \sim x \implies x = y$ - jednalo by se jinak o cyklus
|
|
- tranzitivní
|
|
- $x \sim y \wedge y \sim z \implies x \sim z$
|
|
|
|
**Pozorování**: Každý POSET odpovídá sledové relaci nějakého acykl. orientovaného grafu a naopak. (bijekce)
|
|
- minimální prvky: $d^\text{in}(v) = 0$
|
|
- pouze z něj hrany vystupují
|
|
- maximální prvky: $d^\text{out}(v) = 0$
|
|
- pouze do něj hrany vstupují
|
|
|
|
**Pozorování**: Každý podgraf acyklického grafu je acyklický. (acyklicita je dědičná)
|
|
- $\implies$ každý acyklický graf má (lineární) **topologické uspořádání vrcholů**
|
|
- odtrhávání vstupních vrcholů a jejich postupné číslování
|
|
- dají se očíslovat od $1$ (nemá žádnou vstupující hranu) po $n$ (nemá žádnou vystupující hranu)
|
|
- $(i, j) \in E(\vec{G}) \implies i < j$
|
|
|
|
**Pozorování**: Vrcholy acyklického grafu lze lineárně uspořádat.
|
|
|
|
**Věta**: Vlastnosti acyklického grafu
|
|
- kondenzace $\vec{G}^c$ je acyklický graf
|
|
- $\vec{G}$ je silně souvislý $\iff \vec{G}^c$ má jediný vrchol
|
|
- $\vec{G}$ je acyklický $\iff$ $\vec{G}^c = \vec{G}$
|
|
|
|
# Nilpotentnost matice
|
|
|
|
**Tvrzení**: Orientovaný graf $\vec{G}$ je acyklický právě, pokud je nějaká mocina jeho **matice sousednosti** $A(\vec{G})$ nulová.
|
|
- $\exists \, k \geq 0 : A^k(\vec{G}) = 0$
|
|
|
|
Matice je **nilpotentní**, jestliže je nějaká její mocnina nulová.
|
|
|
|
Ověříme tím, že sestavíme graf a zjistíme, jestli je acyklický. |