Úpravy a doplnění otázek z DMA

KMA DMA/Otázky ke zkoušce/01. Relace, zobrazení a funkce.md

@@ -53,9 +53,9 @@ Věta o asociativitě skládání relací
 ## Druhy zobrazení
 
 Zobrazení $f: X \to Y$ je
-- **prosté**, pokud každé $y \in Y$ má nejvýše jeden vzor při zobrazení $f$,
-- **na**, pokud každé $y \in Y$ má alespoň jeden vzor při zobrazení $f$,
-- **vzájemně jednoznačné** (nebo **bijekce**), pokud je **prosté** a **na**, tedy
+- **prosté** (injekce), pokud každé $y \in Y$ má nejvýše jeden vzor při zobrazení $f$,
+- **na** (surjekce), pokud každé $y \in Y$ má alespoň jeden vzor při zobrazení $f$,
+- **vzájemně jednoznačné** (bijekce), pokud je **prosté** a **na**, tedy
 	- každé $y \in Y$ má právě jeden vzor při zobrazení $f$.
 
 ## Skládání zobrazení

KMA DMA/Otázky ke zkoušce/04. Homogenní rekurentní rovnice a soustavy, asymptotický růst funkcí.md

@@ -0,0 +1,14 @@
+# Asymptotický růst funkcí
+
+$\displaystyle x \to +\infty \quad \lim_{ x \to +\infty } \frac{e^x}{x} = +\infty$
+
+$\displaystyle x^2, x^3, \dots, x^n, \dots \quad \lim_{ x \to +\infty } \frac{e^x}{x^n} = +\infty$
+
+## Bachmannovi-Landauovy-(Knothovy) symboly
+
+$g(x) > \mathcal{O}$
+
+**Big-Oh**: $\mathcal{O}(g(x)) = \{ h(x) | \exists \, c > 0 \, \exists \, x_{0} : \forall \, x > x_{0} : 0 \leq h(x) \leq c \cdot g(x) \}$
+
+O-notace zajištuje garanci, že funkce neporoste rychleji, než $g(x)$.
+

KMA DMA/Otázky ke zkoušce/21. Laplaceova matice a počítání koster.md

@@ -1,7 +1,8 @@
 # Laplaceova matice
 
 Nechť $G$ je neorientovaný graf s vrcholy $V = \{v_{1}, \dots, v_{n}\}$ a $\vec{G}$ nějaké jeho orientace bez smyček a násobných hran. Dále položme
-- $L = M(\vec{G}) \cdot (M(\vec{G}))^T \quad$ (tzv. **Laplaceova matice** grafu $G$).
+- $L = A(\vec{G}) \cdot (A(\vec{G}))^T \quad$ (tzv. **Laplaceova matice** grafu $G$).
+- $A(\vec{G})$ je indukovaná matice libovolné orientace neorientovaného grafu.
 
 Potom pro prvky čtvercové matice $L = (l_{ij})$ řádu $n$ platí:
 

KMA DMA/Otázky ke zkoušce/23. Vzdálenost a vážená vzdálenost v grafech, metrika.md

@@ -76,7 +76,7 @@ Mějme orientovaný graf $\vec{G}$ s vrcholy $v_{1}, \dots, v_{n}$. Potom matici
 
 **Poznámka**: Pro neorientovaný graf $G$ definujeme $d^w(u, v)$ analogicky pro symetrickou orientaci grafu $G$.
 
-**Tvrzení**: Nechť $G$ je neorietovaný graf. Potom pro každé $x, y, z \in V(G)$ platé
+**Tvrzení**: Nechť $G$ je neorietovaný graf. Potom pro každé $x, y, z \in V(G)$ platí
 1) $d^w(x, y) \geq 0, \quad d^w(x, y) = 0 \iff x = y,$
 2) $d^w(x, y) = d^w(y, x),$
 3) $d^w(x, z) \leq d^w(x, y) + d^w(y, z).$

KMA DMA/Otázky ke zkoušce/24. Acyklické grafy.md

@@ -2,7 +2,7 @@
 
 Graf $\vec{G}$ je **acyklický**, jestliže $\vec{G}$ neobsahuje jako podgraf žádný cyklus.
 
-**Sledová relace** $x \sim y$ na vrcholech $x, y \in V(\vec{G})$ orientovaného grafu:
+**Sledová relace** $x \sim y$ na vrcholech $x, y \in V(\vec{G})$ acyklického orientovaného grafu:
 - reflexivní
 	- $x \sim x$ - sled nulové délky
 - antisymetrická

KMA DMA/Otázky ke zkoušce/25. Úloha minimální kostry.md

@@ -6,7 +6,7 @@ $\displaystyle w(T) = \sum_{e \in E(T)} w(e)$
 
 nazveme **vahou kostry $T$ v grafu $G$**. Kostru $T'$ takovou, že $w(T') = \min\{ w(T); T \text{ je kostra } G \}$, nazveme **minimální kostrou grafu $G$**.
 
-**Algoritmus** na hledání minimální kostry - **O. Borůvka**.
+## Algoritmus - O. Borůvka
 
 - Vstup: souvislý ohodnocený neorientovaný graf.
 1. $F$ je faktor grafu $G$ s $E(F) = \emptyset$ (nemá žádné hrany).
@@ -16,7 +16,7 @@ nazveme **vahou kostry $T$ v grafu $G$**. Kostru $T'$ takovou, že $w(T') = \min
 
 **Věta**: Nechť $G$ je souvislý ohodnocený neorientovaný graf. Potom faktor $F$ nalezený předchozím algoritmem je minimální kostra grafu $G$.
 
-**Algoritmus** na hledání minimální kostry - **V. Jarník**.
+## Algoritmus - V. Jarník
 
 - Vstup: souvislý ohodnocený neorientovaný graf.
 1. Zvolme libovolný vrchol $x \in V(G)$, položme $i := 1$ a $G_{1} = (\{x\}, \emptyset)$.
@@ -24,7 +24,9 @@ nazveme **vahou kostry $T$ v grafu $G$**. Kostru $T'$ takovou, že $w(T') = \min
 	- ANO - $G_{i}$ je minimální kostrou grafu $G$, konec
 	- NE - zvolme hranu $e_{i}$ s nejmenší vahou takovou, že má jeden konec v $G_{i}$ a druhý $x_{i}$ mimo $G_{i}$ (ze souvislosti grafu $G$ taková hrana existuje), krok 3
 3. Označme $G_{i+1}$ graf vzniklý z grafu $G_{i}$ přidáním hrany $e_{i}$ včetně jejího koncového vrcholu $x_{i}$
-	- $V(G_{i+1}) = V(G_{i} \cup \{x_{i}\}), \quad E(G_{i+1}) = E(G_{i}) \cup \{h_{i}\}$
+	- $V(G_{i+1}) = V(G_{i} \cup \{x_{i}\}), \quad E(G_{i+1}) = E(G_{i}) \cup \{e_{i}\}$
 	- krok 2
 
-TODO: kritická cesta
+## Algoritmus - J. B. Kruskal
+
+- TODO

KMA DMA/Otázky ke zkoušce/26. Úloha minimální cesty.md

@@ -8,4 +8,16 @@
 3. Pro vrchol $w$ s nejmenší dočasnou hodnotou polož $t(w) = d(w)$.
 4. Má vrchol $y$ trvalou hodnotu? Pokud ne, jdi na krok 2. Pokud ano, $t(y)$ je délka minimální cesty z $x$ do $y$, konec.
 
-**Poznámka**: Hrany, na nichž $w(x, y) = t(y) - t(x)$ určují minimální cestu.
+**Poznámka**: Hrany, na nichž $w(x, y) = t(y) - t(x)$ určují minimální cestu.
+
+## Úloha APSP - all pairs shortest paths
+
+**Algoritmus**: Floydův-Warshallův
+
+- Slouží k získání $w$-distanční matice grafu $\vec{G}$, začíná se ze stejné matice $D_{0}(\vec{G})$.
+- Vstup: matice $D_{0}(\vec{G})$ ohodnoceného orientovaného grafu $\vec{G}$.
+1. Potřebujeme se zbavit míst s nekonečnem a to provedeme tak, že hledáme minimální cestu z vrcholu $i$ do $j$ přes libovolný třetí vrchol $k$.
+2. Vybereme si jedno z těchto míst a matici čteme takto: potřebujeme se dostat z vrcholu $i$ (určen řádky) do vrcholu $j$ (určen sloupci).
+3. Najdeme tedy vrchol $k$, do kterého se dostaneme z $i$ a ze kterého se dostaneme do $j$. Na místo v matici poté zapíšeme součet těchto ohodnocení, pokud je menší než současná hodnota.
+4. Pokračujeme u všech prázných míst a poté postupně u všech míst, dokud po zpracování celé matice nedojde k žádné změně.
+