FAV-ZCU/KIV PPA1/13. Řazení.md

Řazení

• Velmi častá operace v mnoha různorodých algoritmech
• Slouží především pro usnadnění následného vyhledávání
  • Používá se nejen v programování, ale i v běžném životě (často se setkáváme s abecedním pořadím, např. slova v rejstříku knihy, které usnadní nalezení požadovaného výrazu)

Základní pojmy

• Pro řazení se v angličtině používá slovo „sort“
  • Toto slovo má však dva odlišné významy
    • Řazení – činnost, kdy přeskupíme prvky posloupnosti (nejčastěji uložené v poli) tak, aby mezi sousedními prvky platily vztahy „předchůdce-následník“ či „menší-větší“
      • Např. seřadíme pole čísel podle velikosti od nejmenšího čísla k největšímu nebo seřadíme studenty podle příjmení od A do Z
      • V předmětu KIV/PPA1 a navazujících předmětech budeme důsledně používat slovo „řazení“
    • Třídění – činnost, kdy prvky z určité skupiny (množiny) rozdělujeme do podskupin podle nějaké společné vlastnosti
      • Např. roztřídíme celá čísla na sudá a lichá V českém překladu se občas slovo „třídění“ používá ve významu řazení => NEPOUŽÍVAT!
• Klíč
  • Řadit je možné prvky primitivních datových typů nebo instance
  • Pokud řadíme instance, které mají obecně více atributů, pak typicky řadíme podle jednoho nebo několika z nich
  • Atribut, podle kterého řadíme, se nazývá klíč
• Protože se řazení používá velmi často, existuje množství rozmanitých algoritmů, které se navzájem liší některými svými vlastnostmi, zejména svou rychlostí a složitostí implementace

Vlastnosti algoritmů řazení

• Směr řazení
  • Řazení vzestupně
    • Předchozí prvek je menší nebo roven následujícímu prvku
      • Např. 1, 2, 3, 3, 3, 4, 6, 9, 9
    • Častější směr řazení
  • Řazení sestupně
    • Předchozí prvek je větší nebo roven následujícímu prvku
      • Např. 9, 9, 6, 4, 3, 3, 3, 2, 1
  • Pokud nebude explicitně uvedeno jinak, budeme ve zbylém textu uvažovat řazení vzestupně
• Umístění řazených prvků
  • vnitřní řazení
    • Všechny prvky, které chceme seřadit, jsou uloženy v jeden okamžik v operační paměti
    • Ve zbylém textu budeme uvažovat pouze vnitřní řazení
      • Paměti je „dost“ – lze bez problémů řadit desítky milionů prvků
  • Vnější řazení
    • Řazených prvků je extrémní množství a všechny najednou se do operační paměti nevejdou
    • Prvky jsou uloženy v jednom či více souborech nebo v databázi na vnější paměti (např. na pevném disku)
    • V jeden okamžik je v operační paměti pouze část prvků
• Stabilita
  • Stabilní řazení
    • Řazení je stabilní, pokud relativní pořadí prvků se stejnou hodnotou klíče zůstává v seřazeném poli (posloupnosti) stejné jako v původním poli (posloupnosti)
      • Např. pokud budu řadit pole osob s atributy jméno a příjmení podle příjmení, pořadí osob se stejným příjmením zůstane zachované
        • Neseřazené osoby: Jana Volná, Tomáš Marný, Petr Dobrý, Martin Marný, Lenka Malá, Jitka Volná
        • Seřazené osoby: Petr Dobrý, Lenka Malá, Tomáš Marný, Martin Marný, Jana Volná, Jitka Volná
  • Nestabilní řazení
    • Řazení je nestabilní, pokud se relativní pořadí prvků se stejnou hodnotou klíče může po seřazení pole změnit
      • Např. pokud budu řadit pole osob s atributy jméno a příjmení podle příjmení, pořadí osob se stejným příjmením nemusí zůstat zachované
        • Neseřazené osoby: Jana Volná, Tomáš Marný, Petr Dobrý, Martin Marný, Lenka Malá, Jitka Volná
        • Seřazené osoby: Petr Dobrý, Lenka Malá, Tomáš Marný, Martin Marný, Jitka Volná, Jana Volná
    • Má význam pouze u řazení objektů
      • Pokud řadíme pole základních datových typů, vzájemná poloha dvou stejných prvků není důležitá
        • Protože prvky stejné hodnoty stejně nemůžeme rozlišit
        • „Je jedno, která trojka bude první a která druhá“
      • Objekty se mohou shodovat v klíči, podle kterého jsme řadili, ale můžou se lišit (a často liší) v hodnotách dalších atributů
        • Jejich pořadí může mít význam
• Složitost
  • Vlastnost každého algoritmu (nejen algoritmu řazení)
  • Dá se použít pro zhodnocení „jak rychlý“ daný algoritmus je nebo „kolik paměti“ daný algoritmus potřebuje
  • Udává, jak roste časová (nebo paměťová) náročnost algoritmu v závislosti na velikosti vstupu
    • V případě řadících algoritmů je velikost vstupu počet řazených prvků
  • Podrobně viz předmět KIV/PPA2

Základní algoritmy řazení

• U všech příkladů budeme předpokládat, že posloupnost prvků, kterou chceme seřadit, je uložená v poli
  • Všechny zmíněné algoritmy procházejí pole, přičemž alespoň část pole se prochází opakovaně
  • Pro průchod polem jsou využity dva vnořené cykly – typicky cykly for, nebo kombinace cyklů for a while
• Základní operace, které se provádějí v běžných algoritmech řazení, je porovnání prvků a prohození prvků
  • Postupným prohazováním dvojic prvků na základě porovnání jejich hodnoty se z neseřazené posloupnosti uložené v poli stane seřazená posloupnost
• Základní algoritmy řazení
  • Jsou jednoduché na implementaci (a tedy i na pochopení jejich principu)
  • Všechny mají časovou složitost Ο(n²)
  • Udává, jak roste čas potřebný pro seřazení posloupnosti prvků v závislosti na počtu prvků n (v nejhorším případě)
  • Pokud bude algoritmus potřebovat čas t pro seřazení n prvků, bude pro seřazení 2n prvků potřebovat čas 4t
  • Čas roste kvadraticky v závislosti na počtu prvků n
• Pokročilé algoritmy řazení
  • Jsou složitější na implementaci a pochopení
  • Mají nižší časovou složitost (typicky Ο(nlog2n))
  • Podrobně viz předmět KIV/PPA2

Řazení výběrem (selection sort)

• Též řazení výběrem mezního prvku, řazení s přímým výběrem
• Princip řešení
  • V celém poli nalezneme index prvku s nejnižší hodnotou
  • Vyměníme nalezený prvek s prvním prvkem pole (na indexu 0)
  • V poli vyjma prvního prvku nalezneme index prvku s nejnižší hodnotou
  • Vyměníme nalezený prvek s druhým prvkem pole (na indexu 1)
  • Pokračujeme stejným způsobem pro další prvky, dokud nedosáhneme konce pole
• Vlastnosti řazení výběrem
  • Řazení je nestabilní
  • Složitost Ο(n²)

Řazení vkládáním (insertion sort)

• Princip řešení
  • Pole máme rozdělené na seřazenou (na začátku jeden prvek) a neseřazenou část (na začátku všechny prvky kromě prvního (na indexu 0))
  • Vezme se první prvek z neseřazené části a vloží se na správné místo do seřazené části
  • Prvky v seřazené části větší než zařazovaný prvek se posunou o jedno místo doprava => seřazená část se zvětší o jeden prvek
  • Opakuji, dokud není pole celé seřazené
• Vlastnosti řazení vkládáním
  • Řazení je stabilní
  • Složitost Ο(n²)

Řazení záměnou (bubble sort)

• Též bublinkové řazení
• Princip řešení
  • Porovnáváme vždy dva sousední prvky, začínáme odzadu
  • Pokud jsou prvky v nesprávném pořadí (prvek s nižším indexem je větší), prohodíme je
  • Porovnávání a prohazování opakujeme, dokud nedojdeme na začátek pole
    • Tím se nejmenší prvek dostane na začátek pole („vybublá nahoru“)
    • V průběhu vybublání se i ostatní prvky částečně řadí
  • Celý postup opakujeme znovu, ale pouze do druhého prvku pole
    • Tím vybublá nahoru druhý nejmenší prvek
  • Opakujeme pro třetí nejmenší prvek, atd.
  • Předčasné ukončení
    • Pokud nedojde při běhu vnitřního cyklu k žádné výměně, je pole seřazené a mohu skončit
• Vlastnosti řazení záměnou
  • Řazení je stabilní
  • Složitost Ο(n²)

Porovnání základních algoritmů řazení

• Všechny tři zmíněné algoritmy mají stejnou složitost Ο(n²)
  • To neznamená, že jsou všechny stejně efektivní, pouze, že doba řazení roste stejným tempem (s druhou mocninou počtu řazených prvků)
• Všechny algoritmy řazení provádějí převážně dvě základní operace
  • Porovnání – typicky porovnání dvou prvků
  • Přiřazení – typicky při prohození dvou prvků (celkem tři přiřazení na jedno prohození)
  • Různé řadící algoritmy provedou různý počet porovnání a přiřazení pro stejnou neseřazenou posloupnost
  • Podle počtu provedených porovnání a přiřazení lze algoritmy porovnat
    • Do algoritmů se přidají dva čítače
      • Jeden pro počet porovnání a druhý pro počet přiřazení
      • Inkrementují se „ručně“ (tj. je nutné inkrementaci ručně přidat do kódu) při každém provedeném porovnání/přiřazení
• Základní algoritmy řazení jsou efektivní pro malé posloupnosti (cca několik desítek prvků)
• Pro větší množství prvků se používají algoritmy se složitostí Ο(nlog²n), které jsou typicky obsažené v knihovních metodách většiny běžných programovacích jazyků

Řazení pole řetězců (lexikografické řazení)

• Řazení řetězců funguje stejně jako řazení základních datových typů s výjimkou porovnání
  • Pro porovnání dvou prvků nelze použít operátory „<“ a „>“
  • Je potřeba použít metodu instance třídy String compareTo(), která vrací 0, kladnou či zápornou hodnotu podle pořadí porovnávaných řetězců v abecedě
    • 0 – řetězce jsou stejné (včetně velikosti písmen)
    • Záporná hodnota – řetězec, nad kterým je metoda volaná, je „menší“ než řetězec v parametru metody
    • Kladná hodnota – řetězec, nad kterým je metoda volaná, je „větší“ než řetězec v parametru metody
    • POZOR! – Kladné a záporné hodnoty jsou obecně různá kladná a záporná čísla v závislosti na obsahu řetězců – není to jen -1 a 1

Problémy s lexikografickým řazením

• Uspořádání podle abecedy však může mít neočekávané důsledky, typicky při řazení názvů souborů (což je nejčastěji podle názvu)
  • Pokud seřadíme čísla 1, 40, 10, 3, 17, 4, očekáváme výsledek 1, 3, 4, 10, 17, 40
  • Pokud ale budeme řadit řetězce (názvy souborů) "1.txt", "40.txt", "10.txt", "3.txt", "17.txt", "4.txt", dostaneme výsledek "1.txt", "10.txt", "17.txt", "3.txt", "4.txt", "40.txt"
  • Toto seřazení je důsledkem porovnání řetězců
  • Běžné porovnávání řetězců implementované i v metodě compareTo() probíhá postupně podle jednotlivých znaků od začátku řetězce
    • Pokud se řetězce shodují v prvním znaku, porovnají se podle druhého znaku atd.
      • Jednotlivé znaky se porovnávají podle jejich hodnot
      • Jakmile se narazí na znak, který není shodný, hodnota tohoto znaku určí výsledek porovnání řetězců
        • Např. při porovnání řetězců "Jana" a "Janicka" rozhodnou až znaky 'a' a 'i' na indexu 3 protože 'a' má nižší hodnotu než 'i', „menší“ (tj. blíže začátku abecedy) je řetězec "Jana"
      • Pokud je jeden řetězec předponou druhého, je „menší“ ten kratší řetězec (např. "Jan" je „menší“ než "Jana")
      • Pokud se porovná řetězec "10.txt" a "3.txt", tak hned první znaky (na indexu 0) jsou rozdílné – '1' a '3'
        • Protože '1' je menší než '3', je řetězec "10.txt" „menší“ než řetězec "3.txt", i když číslo 3 je menší než 10
    • Řešení – doplnit nevýznamové nuly, které jsou však z hlediska lexikografického řazení významové => místo "3.txt" použít "03.txt"

Řazení pole objektů

• Pole objektů lze řadit stejnými algoritmy jako pole základních datových typů
• Je ale nutné určit, podle čeho se mají jednotlivé instance porovnávat (tj. určit, co bude klíčem)
  • Podle jednoho atributu
  • Podle více atributů (víceúrovňové řazení)

Řazení podle jednoho atributu

• Jediný rozdíl oproti řazení pole základních datových typů je, že porovnáváme hodnoty atributů, nikoliv samotné instance
  • Pokud je atribut základního datového typu, použijeme přímo operátory porovnání „<“ a „>“
  • Pokud je atribut referenční proměnná na instanci jiné třídy, musíme použít porovnání definované pro danou třídu
    • Např. pro třídu String je to metoda compareTo()

Víceúrovňové řazení provedené najednou (běžný postup)

• Poměrně často se může stát, že chceme řadit pole objektů podle více atributů
  • Např. osoby podle příjmení a následně podle jména
    • Osoby se tedy seřadí podle příjmení, a pokud mají stejné příjmení, seřadí se ještě podle jména
  • Je možné udělat v řazení komplexnější podmínku pro prohození prvků obsahující všechny atributy, podle kterých chceme řadit
    • Tento postup podstatně znepřehledňuje samotné řazení, zvláště pokud je atributů, podle kterých řadíme, větší množství
  • Je vhodnější udělat metodu pro porovnání dvou instancí stejné třídy, která bude vracet hodnoty indikující, která instance je „větší“
    • Tato metoda může obsahovat i poměrně složitou podmínku skládající se z porovnání několika atributů
    • Díky umístění v metodě instance nebude znepřehledňovat kód řazení
    • Metodu můžeme po vzoru třídy String nazvat compareTo() a může vracet hodnoty 0, 1 a -1
      • Metoda compareTo() se využívá i při řazení objektů knihovní metodou řazení
      • Metoda compareTo() se může využít i při řazení podle jediného atributu

Víceúrovňové řazení provedené postupně (nepoužívat)

• Další možnost seřazení pole objektů podle více atributů je seřadit ho nejprve podle jednoho atributu a následně podle dalšího
  • Je potřeba použít stabilní algoritmus řazení
  • Nejprve se pole seřadí podle nejméně důležitého atributu (u osoby podle jména)
  • Následně se pole seřadí podle více důležitého atributu (u osoby podle příjmení)
  • Protože pořadí prvků se stejným klíčem zůstává při použití stabilního řazení nezměněno, seřazení podle méně důležitého atributu (jména) zůstane zachováno (pro osoby se stejným příjmením)
  • Tento postup vyžaduje zopakovat řazení dvakrát a je proto rozumné ho nevyužívat, pokud není nezbytně nutno
    • Pokud však není možné řadit podle více atributů najednou (např. v GUI MS Access), tento postup se může hodit

Metody řazení v Java Core API

• V naprosté většině případů není důvod si programovat algoritmus řazení – využijí se knihovní metody pro řazení z třídy Arrays (nebo Collections) z balíku java.util
• Pro pole základních datových typů i pole objektů se používají metody Arrays.sort(pole) a Arrays.sort(pole, indexOd, indexDo)
  • Metody jsou překryté pro pole všech základních datových typů a pole objektů
  • Metoda s indexy řadí pouze část pole od indexu indexOd (včetně) do indexu indexDo (vyjma)

Řazení polí základních datových typů metodou z Java Core API

• Řazení pole základních datových typů nevyžaduje žádnou speciální úpravu, pouze se zavolá metoda řazení
• Metody sort() pro pole základních datových typů obsahují algoritmus quick sort
  • Je velmi rychlý
  • Má složitost Ο(nlog²n) (v průměrném případě)
  • Není stabilní – u základních datových typů nepodstatné
  • Viz předmět KIV/PPA2

Řazení polí objektů metodou z Java Core API

• Aby bylo možné řadit pole objektů knihovními metodami řazení, je potřeba, aby třída implementovala rozhraní Comparable<Třída>
  • Mnoho knihovních tříd to dělá, a dají se tak řadit knihovními metodami – např. String
  • Podrobnosti viz předměty KIV/PPA2 a KIV/OOP
    • Existuje i alternativní možnost, umožňující řadit podle různých kritérií podle toho, které řazení aktuálně potřebujeme
    • Je potřeba, aby třída měla rozšířenou hlavičku
      • public class Třída implements Comparable<Třída>
    • Je potřeba, aby třída obsahovala metodu pro porovnání dvou instancí třídy
      • public int compareTo(Třída třída)
      • Tato metoda musí vracet zápornou hodnotu, pokud je instance, nad kterou se metoda volá, „menší“ než instance v parametru metody, kladnou hodnotu, pokud je „větší“, a nula, pokud jsou obě instance stejné
      • Podle čeho se instance porovnávají, záleží na těle metody compareTo(), může to být podle jednoho či více atributů

Kopie pole

• Protože při knihovním řazení metodami Arrays.sort() dojde přímo k seřazení zadaného pole, může se hodit pole před řazením zkopírovat, abychom měli uloženou seřazenou i neseřazenou posloupnost
  • Pole lze překopírovat ručně
    • Vytvořit nové pole stejného typu o stejné velikosti jako původní pole
    • V cyklu for projít původní pole a do prvků nového pole přiřadit odpovídající prvky původního pole
  • Pole lze překopírovat využitím knihovní metody Arrays.copyOf(pole, nováDélkaPole)
    • Metoda je rychlejší než ruční kopírování
  • Metoda umožňuje pole také zkrátit nebo prodloužit (při zadání jiné délky než původní délky pole)
    • Při zadání menší délky se pole ořízne
    • Při zadání větší délky se prvky navíc nastaví na hodnotu 0, 0.0, false nebo null podle typu pole

Kopie polí základních datových typů

• Při kopírování polí základních datových typů, kdy jednotlivé hodnoty jsou přímo prvky pole, dostaneme „plnohodnotnou“ kopii pole
  • Pokud provedeme změnu prvku v kopii pole, změna se nijak neprojeví v původním poli

Kopie polí objektů

• Při kopírování polí objektů jsou v prvcích pole uloženy pouze reference na jednotlivé instance
  • Zkopírováním pole se zkopírují pouze reference, které ale stále ukazují na původní instance
  • Pokud provedu změnu atributu prvku v kopii pole, projeví se tato změna i v odpovídajícím prvku původního pole (protože se stále jedná o stejnou instanci)
  • Jedná o tzv. mělkou kopii pole