1.1 KiB
1.1 KiB
Taylorův polynom
Nahrazení nějaké složité funkce (\sin, \cos, \ln) za jinou polynomickou funkci n-tého stupně, která na konkrétním okolí zjišťovaného bodu dostatečně aproximuje tu původní.
Chci zjistit hodnotu \sin(29°)
\displaystyle f(x) = \sin(x) \qquad x_{0}+h = \frac{29\pi}{180}.
Znám hodnotu \sin(30°) = \frac{1}{2}.
\displaystyle x_{0} = \frac{30\pi}{180} = \frac{\pi}{6} \qquad h = -\frac{\pi}{180}
Zjistím směrnici tečny v bodě x_{0}.
f'(x_{0}) = A
Rovnice, kde \tau je nová funkce a A je derivace.
f(x_{0}+h) - f(x_{0}) = \tau(h) + A \cdot h
Vypustím chybu ($\tau$) a získám přibližnou rovnost.
f(x_{0}+h) - f(x_{0}) \approx f'(x_{0}) \cdot hf(x_{0}+h) \approx f'(x_{0}) \cdot h + f(x_{0})
Získám přibližný výsledek:
\displaystyle f\left( \frac{29\pi}{180} \right) \approx f'\left( \frac{\pi}{6} \right) \cdot \left( -\frac{\pi}{180} \right) + f\left( \frac{\pi}{6} \right)\displaystyle f\left( \frac{29\pi}{180} \right) \approx \frac{\sqrt{ 3 }}{2} \cdot \left( -\frac{\pi}{180} \right) + \frac{1}{2} = \frac{180-\sqrt{ 3 }\pi}{360}