FAV-ZCU/KFY FYI1/Priklad05.md

Zadání

Raketa o hmotnosti 100 kg nese pohonné látky o hmotnosti 1300 kg. Plyny tryskají z rakety (relativní) rychlostí 3 km/s. Určete: možné zvýšení rychlosti rakety v kosmickém prostoru.

• m_{R} = 100 \, \text{kg}
• m_{P} = 1300 \, \text{kg}
• u = 3 \, \text{km/s}
• \Delta v = \, ?

• na systém nepůsobí vnější vlivy
• kosmický prostor \to izolovaný systém \to zákon zachování hybnosti
  • \vec p = m\cdot \vec v = \text{konst.} (hybnost)

hybnost systému ve dvou různých okamžicích musí být stejná

• p(t) = p(t + dt)
  • palivo \mu se přemění na plyny, ty uniknou z rakety
  • v čase t platí
    • p(t) = m(t) \cdot v(t)
  • v čase t + dt platí
    • p(t+dt) = m(t+dt) \cdot v(t+dt) + \mu [v(t)-u]
    • \mu - hmotnost paliva spáleného za dt

dostaneme tedy

• m(t) \cdot v(t) = m(t+dt) \cdot v(t+dt) + \mu[v(t)-u]

dále platí

• m(t+dt) = m(t) + dm
• v(t+dt) = v(t) + dv
• \mu = -dm
• dosazíme do přechozí rovnice

Výpočet

upravíme vzorec

• m(t) \cdot v(t) = [m(t)+dm] \cdot [v(t)+dv] -dm[v(t)-u]
• \cancel{m(t) \cdot v(t)} = \cancel{m(t) \cdot v(t)} + m(t) \cdot dv + \cancel{dm \cdot v(t)} + dm \cdot dv - \cancel{dm \cdot v(t)} + u \cdot dm
• dm \cdot dv zanedbáme, velmi malé číslo

upravíme získanou rovnici

• 0 = m(t) \cdot dv + u \cdot dm
• udm = - m(t) \cdot dv
• \displaystyle \frac{dm}{m(t)} = -\frac{dv}{u}

provedeme integraci

• \displaystyle \int^{m_{R}}_{m_{R}+m_{P}} \frac{dm}{m(t)} = -\frac{1}{u} \int^{v}_{v_{0}} dv

• [\ln(m)]^{m_{R}}_{m_{R}+m_{P}} = -\frac{1}{u}[v]^{v}_{v_{0}}

• \ln(m_{R}) - \ln(m_{R}+m_{P}) = -\frac{1}{u}(v-v_{0})
  • v-v_{0}=\Delta v

• u \cdot \ln\left[ \frac{m_{R}+m_{P}}{m_{R}} \right] = \Delta v

Ciolkovského rovnice

• \Delta v = u \cdot \ln\left[ 1 + \frac{m_{P}}{m_{R}} \right]

Výsledek

\Delta v = 3 \cdot \ln\left( 1 + \frac{1300}{100} \right) \, \text{km/s} = 7.92 \, \text{km/s}