57 lines
2 KiB
Markdown
57 lines
2 KiB
Markdown
### Zadání
|
|
|
|
**Raketa o hmotnosti 100 kg** nese **pohonné látky** o hmotnosti **1300 kg**. **Plyny tryskají** z rakety (relativní) **rychlostí 3 km/s**. Určete: **možné zvýšení rychlosti rakety** v kosmickém prostoru.
|
|
|
|
- $m_{R} = 100 \, \text{kg}$
|
|
- $m_{P} = 1300 \, \text{kg}$
|
|
- $u = 3 \, \text{km/s}$
|
|
- $\Delta v = \, ?$
|
|
+ na systém nepůsobí vnější vlivy
|
|
+ kosmický prostor $\to$ izolovaný systém $\to$ zákon zachování hybnosti
|
|
- $\vec p = m\cdot \vec v = \text{konst.}$ (hybnost)
|
|
|
|
|
|
|
|
hybnost systému ve dvou různých okamžicích musí být stejná
|
|
- $p(t) = p(t + dt)$
|
|
- palivo $\mu$ se přemění na plyny, ty uniknou z rakety
|
|
- v čase $t$ platí
|
|
- $p(t) = m(t) \cdot v(t)$
|
|
- v čase $t + dt$ platí
|
|
- $p(t+dt) = m(t+dt) \cdot v(t+dt) + \mu [v(t)-u]$
|
|
- $\mu$ - hmotnost paliva spáleného za $dt$
|
|
|
|
dostaneme tedy
|
|
+ $m(t) \cdot v(t) = m(t+dt) \cdot v(t+dt) + \mu[v(t)-u]$
|
|
|
|
dále platí
|
|
- $m(t+dt) = m(t) + dm$
|
|
- $v(t+dt) = v(t) + dv$
|
|
- $\mu = -dm$
|
|
- dosazíme do přechozí rovnice
|
|
|
|
### Výpočet
|
|
|
|
upravíme vzorec
|
|
- $m(t) \cdot v(t) = [m(t)+dm] \cdot [v(t)+dv] -dm[v(t)-u]$
|
|
- $\cancel{m(t) \cdot v(t)} = \cancel{m(t) \cdot v(t)} + m(t) \cdot dv + \cancel{dm \cdot v(t)} + dm \cdot dv - \cancel{dm \cdot v(t)} + u \cdot dm$
|
|
- $dm \cdot dv$ zanedbáme, velmi malé číslo
|
|
|
|
upravíme získanou rovnici
|
|
- $0 = m(t) \cdot dv + u \cdot dm$
|
|
- $udm = - m(t) \cdot dv$
|
|
- $\displaystyle \frac{dm}{m(t)} = -\frac{dv}{u}$
|
|
|
|
provedeme integraci
|
|
+ $\displaystyle \int^{m_{R}}_{m_{R}+m_{P}} \frac{dm}{m(t)} = -\frac{1}{u} \int^{v}_{v_{0}} dv$
|
|
- $[\ln(m)]^{m_{R}}_{m_{R}+m_{P}} = -\frac{1}{u}[v]^{v}_{v_{0}}$
|
|
+ $\ln(m_{R}) - \ln(m_{R}+m_{P}) = -\frac{1}{u}(v-v_{0})$
|
|
- $v-v_{0}=\Delta v$
|
|
- $u \cdot \ln\left[ \frac{m_{R}+m_{P}}{m_{R}} \right] = \Delta v$
|
|
|
|
Ciolkovského rovnice
|
|
- $\Delta v = u \cdot \ln\left[ 1 + \frac{m_{P}}{m_{R}} \right]$
|
|
|
|
### Výsledek
|
|
|
|
$\Delta v = 3 \cdot \ln\left( 1 + \frac{1300}{100} \right) \, \text{km/s} = 7.92 \, \text{km/s}$ |