FAV-ZCU/KMA DMA/Prednaska12.md

Def.: matice vážených vzdáleností (w-distanční matice) ohodnoceného grafu otientovaného grafu (G, w), G = (V, E), V = \{ v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n} \} je matice D^w(G) řádu n, příčemž

• D^w(G) = (d^w(v_{i},v_{j}))^n_{i,j=1}

Def.:

• k \geq 0, k \in \mathbb{Z}
• cesta z v_{i} do v_{j} je k-minimální, pokud její délka (nevážená) je nejvýše k a mezi všemi takovými cestami je minimální (tj. neexistuje cesta délky k s vahou menší)

Matice D_{k} - matice, jejíž prvek d^k_{ij} na pozici (i,j) je roven váze k-minimální cesty z vrcholu v_{i} do v_{j}

• D_{n-1} = D^w(G) protože každá cesta v G může obsahivat nejvýše n-1 hran
• D_{1} = d^1_{ij} \quad d^1_{ij} = \begin{cases} w(v_{i}, v_{j}) \quad (v_{i}, v_{j}) \in E \\ 0 \qquad \qquad v_{i} = v_{j} \\ \infty \qquad \qquad \text{jinak, tj. } (v_{i}, v_{j} \notin E) \end{cases}

Tvrzení:

• D_{n-1} = D^w(G)
• matice D_{k} je k-tou mocninou matice D_{1} vzhledem k operacím +, \cdot
• pokud pro nějaké q \geq 1 platí D_{q+1} = D_{q}, pak D^w(G) = D_{q}

Tvrzení: nechť (G, w) je ohodnocený neorientovaný graf

• w: E \to R^*

1. d^w(x,y) \geq 0, d^w(x,y) = 0 \iff x = y
2. d^w(x, y) = d^{w'}(y, x)
3. d^w(x, y) + d^w(y, z) \geq d^w(x, z)

• tj. d^w je metrika na G

Eulerovské grafy

• existence tahu v G takového, že obsahuje všechny hrany G
• tah = sled, ve kterém se neopakují hrany

Def.: eulerovský tah v G je uzavřený tah obsahující všechny hrany G

• otevřený eulerovský tah je tak obsahující všechny hrany G

? existence eulerovských tahů ?

• eulerovský graf = graf s eulerovským tahem

Věta: G je souvislý, pak G je eulerovský \iff každý vrchol má sudý stupeň v G

Hierholzerův algoritmus (G souvislý)

• najdu uzavřený tah M
• ? existuje hrana dotýkající se M (neobsažená v M)
  • ano - prodluž M
  • ne - eulerovský tah

Prostor kružnic grafu

• G = (V, E), \vert E\vert = m
• každému faktoru grafu G lze přiložit charakteristický vektor x \in \mathbb{Z}^m_{2}

Věta: množina sudých faktorů (jejich char. vektorů) tvoří lineární podprostor \mathbb{Z}^m_{2}

• prostor kružnic \mathcal C(G) neor. grafu G - lineární prostor sudých faktorů (char. vektorů)
• ? báze, dimenze \mathcal C(G), počet prvků $\mathcal C(G) (počet sudých faktorů)

Konstrukce báze \mathcal C(G)

1. kostra grafu G ... T (lib. ale pevná)
2. systém fundamentálních kružnic
   • pro každou hranu e grafu G, která není na T vezmeme kružnici v T + e - fundamentální kružnice příslušného e vzhledem ke kostře T
   • počet fund. kružnic = m-n+1
3. \dim(\mathcal C(G)) = m-n+1 (G souvislý)

Věta: fundamentální kružnice tvoří bázi \mathcal C(G)

• \dim(\mathcal C(G)) = m-n+1 (G souvislý)
• počet prvků \mathcal C(G) = počet sudých faktorů G = počet podmnožin fundamentálních kružnic = 2^{m-n+1}