1.5 KiB
1.5 KiB
Rozklad množiny
Rozklad množin je množina podmnožin, které jsou
- neprázdné,
- vzájemně disjunktní,
- sjednocením je celá množina.
Kartézský součin
- značí se
A \times B \{ (a, b) \mid a \in A \wedge b \in B \}
Vlastnosti
- není komutativní ($A \times B \neq B \times A$)
- je asociativní
A = \{ 1, 2 \}, B = \{ a, b \}, C = \{ 3, 4 \}(A \times B) \times C = \{ ((1, a), 3), ((1, a), 4), \dots, ((2, b), 4) \}A \times (B \times C) = \{ (1, (a, 3)), (1, (a, 4)), \dots, (2, (b, 4)) \}- pro nás není podstatná struktura
A \times B \times C = \{(1, a, 3), (1, a, 4), (2, b, 4)\}
Binární relace
Binární relace je libovolnou podmnožinou Kartézského součinu.
Inverzní relace
b \, R^{-1}\, a \iff a \, R \, b
Složená relace (kompozice)
\alpha \subseteq A \times B\beta \subseteq B \times C\gamma = \alpha \circ \beta \subseteq A \times C
Příklad
A = \{ 1, 2, 3 \}B = \{ 2, -3 \}C = \{ a, b, c \}
R \subseteq A \times B = \{ (1, 2), (1, -3), (2, 2), (2, -3) \}S \subseteq B \times C = \{ (2, a), (-3, c) \}
R \circ S = \{ (1, a), (2, a), (1, c), (2, c) \}
Relace na množině
R \subseteq A \times A
- množina
A = \{ 1, 2, 3 \} - relace
R = \{ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3) \}
Funkce
F: A \to B \quad f \subseteq A \times B
\forall \, a \in A : \exists! \, b \in B : a \, f \, b
Je inverzní relace k funkci také funkcí?
- pouze v případě, že je funkce injektní