57 lines
1.5 KiB
Markdown
57 lines
1.5 KiB
Markdown
## Rozklad množiny
|
|
|
|
Rozklad množin je množina podmnožin, které jsou
|
|
- neprázdné,
|
|
- vzájemně disjunktní,
|
|
- sjednocením je celá množina.
|
|
|
|
## Kartézský součin
|
|
|
|
- značí se $A \times B$
|
|
- $\{ (a, b) \mid a \in A \wedge b \in B \}$
|
|
|
|
Vlastnosti
|
|
- není komutativní ($A \times B \neq B \times A$)
|
|
- je asociativní
|
|
- $A = \{ 1, 2 \}, B = \{ a, b \}, C = \{ 3, 4 \}$
|
|
- $(A \times B) \times C = \{ ((1, a), 3), ((1, a), 4), \dots, ((2, b), 4) \}$
|
|
- $A \times (B \times C) = \{ (1, (a, 3)), (1, (a, 4)), \dots, (2, (b, 4)) \}$
|
|
- pro nás není podstatná struktura
|
|
- $A \times B \times C = \{(1, a, 3), (1, a, 4), (2, b, 4)\}$
|
|
|
|
## Binární relace
|
|
|
|
Binární relace je libovolnou podmnožinou Kartézského součinu.
|
|
|
|
Inverzní relace
|
|
- $b \, R^{-1}\, a \iff a \, R \, b$
|
|
|
|
Složená relace (kompozice)
|
|
- $\alpha \subseteq A \times B$
|
|
- $\beta \subseteq B \times C$
|
|
- $\gamma = \alpha \circ \beta \subseteq A \times C$
|
|
|
|
## Příklad
|
|
|
|
- $A = \{ 1, 2, 3 \}$
|
|
- $B = \{ 2, -3 \}$
|
|
- $C = \{ a, b, c \}$
|
|
|
|
+ $R \subseteq A \times B = \{ (1, 2), (1, -3), (2, 2), (2, -3) \}$
|
|
+ $S \subseteq B \times C = \{ (2, a), (-3, c) \}$
|
|
|
|
- $R \circ S = \{ (1, a), (2, a), (1, c), (2, c) \}$
|
|
|
|
## Relace na množině
|
|
|
|
$R \subseteq A \times A$
|
|
- množina $A = \{ 1, 2, 3 \}$
|
|
- relace $R = \{ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3) \}$
|
|
|
|
## Funkce
|
|
|
|
$F: A \to B \quad f \subseteq A \times B$
|
|
- $\forall \, a \in A : \exists! \, b \in B : a \, f \, b$
|
|
|
|
Je inverzní relace k funkci také funkcí?
|
|
- pouze v případě, že je funkce injektní |