FAV-ZCU/KMA M1/2. Posloupnosti.md

Posloupnosti

Zadání

typ	příklad
explicitní	a_n = 2n
implicitní (rekurentní)	\begin{cases} a_{n+1} = a_n + 2 \newline a_1 = 2\end{cases}
graf posloupnosti	(n, a_{n})

Omezenost

Posloupnost (a_n) s oborem hodnot H je omezená (zdola, shora), je-li množina H omezená (zdola, shora).

značení	typ	příklad
O	omezená (shora i zdola)	(-1)^n
OS	omezená shora	4-n
OZ	omezená zdola	(n-8)^2

Minimum, maximum, infimum a supremum

Minimem (max, inf, sup) posloupnosti (a_n) s oborem hodnot H je minimem (max, inf, sup) množiny H.

Monotonie

Řekněme, že posloupnost (a_n) je

značka	typ	podmínka
R	rostoucí	\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \quad a_{n+1} >= a_n
K	klesající	\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \quad a_{n+1} <= a_n
OR	ostře rostoucí	\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \quad a_{n+1} > a_n
OK	ostře klesající	\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \quad a_{n+1} < a_n
M	monotónní	je klesající nebo rostoucí
OM	ostře monotónní	je ostře klesající nebo ostře rostoucí

Zjištění monotonie

1. Tipnu a ověřím
2. Otazníčková metoda

Limita

Vlastní limita

Posloupnost (a_n) má vlastní limitu a \in R, pokud

\displaystyle \forall \epsilon \in \mathbb{R} > 0 \quad \exists n_{0} \in \mathbb{N} \quad \forall n \in \mathbb{N} : n > n_{0} \implies |a_{n} - a| < \epsilon.

Píšeme \displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a nebo a_{n} \to a.

Pozn.: a - \epsilon < a_{n} < a + \epsilon

• Pro jakoukoli šířku pásma existuje standardní hodnota, všechna následující n mají a_n uvnitř $\epsilon$-pásem

Nevlastní limita

Posloupnost (a_n) má nevlastní limitu +\infty, pokud

\displaystyle \forall h > 0 \quad \exists n_{0} \quad \forall n \in N : n > n_{0} \implies a_{n} > h

\displaystyle \forall d < 0 \quad \exists n_{0} \quad \forall n \in N : n > n_{0} \implies a_{n} < d

Píšeme

• \displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = +\infty nebo a_{n} \to +\infty
• \displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = -\infty nebo a_{n} \to -\infty

Jednoznačnost limity

Každá posloupnost má nejvýše 1 limitu.

Algebra vlastních limit

Nechť \displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a a \displaystyle \lim_{ n \to \infty } b_{n} = b, pak

1. \displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\alpha \times a_{n} + \beta \times b_{n}) = \alpha \times a + \beta \times b, pokud je pravá strana definována,

2. \displaystyle \lim_{ n \to \infty } (a_{n} \times b_{n}) = a \times b, pokud je pravá strana definována,

3. \displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\frac{a_{n}}{b_{n}}) = \frac{a}{b}, pokud b_{n} \neq 0 pro všechna n \in N a pokud je pravá strana definována.

Eulerovo číslo

• je definováno jako \displaystyle e := \lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = |"NV $1^\infty$"|
• alternativní definice: \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}

Konvergence a divergence

Řekněme, že (a_n) je

značka	typ	podmínka
K	konvergentní	má-li vlastní / konečnou limitu
D	divergentní	není-li konvergentní
	divergentní k +\infty	má-li nevlastní limitu +\infty
	divergentní k -\infty	má-li nevlastní limitu -\infty

Omezenost a limity

1. Je-li posloupnost konvergentní (K), pak je i omezená (O)

2. Diverguje-li posloupnost k +\infty, pak je omezená pouze zdola (OZ)

3. Diverguje-li posloupnost k -\infty, pak je omezená pouze shora (OS)

Dále také

1. Je-li (a_n) monotónní (M) a omezená (O), pak je i konvergentní (K)

2. Je-li (a_n) rostoucí (R) a omezená (O), pak \displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = sup \ a_{n} a min \ a_{n} = a_{1}

3. Je-li (a_n) klesající (K) a omezená (O), pak \displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = inf \ a_{n} a max \ a_{n} = a_{1}