1.2 KiB
Zadání
Na základě obecného vzorce pro potenciální energii W_{pot}(r) = -\kappa\frac{mM}{r} +\kappa\frac{mM}{r_{1}}, najděte vztah pro potenciální energii hmotného bodu v malé výšce h nad zemským povrchem.
m- hmotnost přenášeného tělesar- koncová polohar_{1}- výchozí poloha\kappa- gravitační konstantaM- hmotnost Země (tělesa v jehož gravitačním poli se nacházíme)
h- malá výška nad povrchem ZeměR_{z}- poloměr ZeměW_{pot}(h) = \, ?
Výpočet
\displaystyle W_{pot}(h) = -\kappa \cdot \frac{m \cdot M_{z}}{R_{z} + h} + \kappa \cdot \frac{m \cdot M_{z}}{R_{z}} = \kappa \cdot m \cdot M_{z} \cdot \left[ \frac{1}{R_{z}} - \frac{1}{R_{z}+h} \right] =
\displaystyle= \kappa \cdot m \cdot M_{z} \cdot \left[ \frac{\cancel{R_{z}}+h-\cancel{R_{z}}}{R_{z}(R_{z}+h)} \right] = \kappa \cdot m \cdot M_{z} \cdot \frac{h}{R_{z}^2\left( 1+\frac{h}{R_{z}} \right)} =
\displaystyle = m \cdot \left( \kappa \cdot \frac{M_{z}}{R^2_{z}} \right) \cdot h = m \cdot g \cdot h
Pouze blízko povrchu Země
h \ll R_{z} \implies \text{zanedbáme}\displaystyle\kappa \cdot \frac{M_{z}}{R_{z}^2} \sim g
Výsledek
W_{pot}(h) \simeq m \cdot g \cdot h