31 lines
1.2 KiB
Markdown
31 lines
1.2 KiB
Markdown
### Zadání
|
|
|
|
Na základě obecného vzorce pro potenciální energii $W_{pot}(r) = -\kappa\frac{mM}{r} +\kappa\frac{mM}{r_{1}}$, najděte vztah pro **potenciální energii hmotného bodu** v malé výšce **h** nad zemským povrchem.
|
|
|
|
- $m$ - hmotnost přenášeného tělesa
|
|
- $r$ - koncová poloha
|
|
- $r_{1}$ - výchozí poloha
|
|
- $\kappa$ - gravitační konstanta
|
|
- $M$ - hmotnost Země (tělesa v jehož gravitačním poli se nacházíme)
|
|
|
|
|
|
|
|
- $h$ - malá výška nad povrchem Země
|
|
- $R_{z}$ - poloměr Země
|
|
- $W_{pot}(h) = \, ?$
|
|
|
|
### Výpočet
|
|
|
|
$\displaystyle W_{pot}(h) = -\kappa \cdot \frac{m \cdot M_{z}}{R_{z} + h} + \kappa \cdot \frac{m \cdot M_{z}}{R_{z}} = \kappa \cdot m \cdot M_{z} \cdot \left[ \frac{1}{R_{z}} - \frac{1}{R_{z}+h} \right] =$
|
|
|
|
$\displaystyle= \kappa \cdot m \cdot M_{z} \cdot \left[ \frac{\cancel{R_{z}}+h-\cancel{R_{z}}}{R_{z}(R_{z}+h)} \right] = \kappa \cdot m \cdot M_{z} \cdot \frac{h}{R_{z}^2\left( 1+\frac{h}{R_{z}} \right)} =$
|
|
|
|
$\displaystyle = m \cdot \left( \kappa \cdot \frac{M_{z}}{R^2_{z}} \right) \cdot h = m \cdot g \cdot h$
|
|
|
|
Pouze blízko povrchu Země
|
|
- $h \ll R_{z} \implies \text{zanedbáme}$
|
|
- $\displaystyle\kappa \cdot \frac{M_{z}}{R_{z}^2} \sim g$
|
|
|
|
### Výsledek
|
|
|
|
$W_{pot}(h) \simeq m \cdot g \cdot h$ |