82 lines
2.8 KiB
Markdown
82 lines
2.8 KiB
Markdown
# Polynomy
|
||
|
||
Nechť $a_0, \dots , a_n$ jsou komplexní čísla, $n \geq 0$ přirozené.
|
||
|
||
Polynomem (mnohočlenem) $p$ proměnné $x$ nazýváme předpis
|
||
|
||
$$p(x) = a_nx^n + a_{n−1}x^{n−1} + . . . + a_{1}x + a_0 \ \ \ \forall x \in C, a_{n} \neq 0$$
|
||
|
||
neboli
|
||
|
||
$$\displaystyle p(x) = \sum^n_{i=0} a_{i}x^i$$
|
||
|
||
Hodnoty $a_i$ nazýváme **koeficienty** polynomu $p(x)$.
|
||
|
||
### Stupeň polynomu
|
||
|
||
Stupeň polynomu $p(x)$ je **nejvyšší mocnina proměnné $x$** u níž je nenulový koeficient.
|
||
|
||
### Nulový polynom
|
||
|
||
Nulový polynom je polynom, který má všechny **koeficienty rovny 0**.
|
||
|
||
### Operace s polynomy
|
||
|
||
1) Rovnost: $p(x) = q(x)$
|
||
$p(x) = 3x^2 - 8x + 6$
|
||
$q(x) = 6 - 3x^2 - 8x + 6x^2$
|
||
|
||
2) Opačný polynom: $-p(x)$
|
||
$p(x) = 3x^2 - 8x + 6$
|
||
$-p(x) = -3x^2 + 8x - 6$
|
||
|
||
3) Součet: $p(x) + q(x)$
|
||
$p(x) + q(x) = 6x^2 - 16x + 12$
|
||
|
||
4) Rozdíl: $p(x) - q(x)$
|
||
$p(x) - q(x) = u(x) = o$
|
||
|
||
5) k-násobek: $k \times p(x)$
|
||
$-3 \times p(x) = -9x^2 + 24x - 18$
|
||
|
||
6) Součin: $p(x) \times q(x)$
|
||
$p(x) \times q(x) = 9x^4 - 48x^3 + 100x^2 - 96x + 36$
|
||
|
||
7) Podíl: $\frac{p(x)}{q(x)}$
|
||
písemné dělení
|
||
|
||
### Funkční hodnota v bodě
|
||
|
||
Hornerovo schématem, kde $c$ je požadovaná hodnota.
|
||
|
||
### Kořen
|
||
|
||
Nechť $p(x)$ je polynom proměnné $x$. Číslo $c \in C$ takové, že $p(c) = 0$ nazveme kořenem polynomu $p(x)$.
|
||
|
||
Každý polynom stupně alespoň 1 má v $C$ alespoň jeden kořen.
|
||
|
||
Je-li $c$ kořenem polynomu $p(x)$, pak $p(x) = s(x) (x − c)$, kde $st(s(x)) = st(p(x)) − 1$.
|
||
|
||
#### Komplexní rozklad na součin kořenových činitelů
|
||
|
||
Každý polynom $p(x)$ stupně $n$ lze vyjádřit ve tvaru $p(x) = (x − c_1)(x − c_2)(x − c_3) \dots (x − c_n)$, kde $c_1, c_2, \dots c_n$ jsou všechny kořeny polynomu $p(x)$.
|
||
|
||
Hodnoty $c_1, c_2, \dots, c_n$ nemusí být nutně navzájem různé. Každý polynom stupně $n \ge 1$ má v $C$ právě $n$ kořenů.
|
||
|
||
#### Reálný rozklad na součin kořenových činitelů
|
||
|
||
Sdružíme-li dvojice komplexně sdružených kořenů a následně jejich kořenové činitele roznásobíme, získáme reálný rozklad na součin kořenových činitelů.
|
||
|
||
Polynom $p(x)$ pak je ve tvaru
|
||
|
||
$$p(x)$ = $a_n(x−c_1)(x−c_2) \dots (x−c_k)(x^2+u_1x+v_1)(x^2+u_2x+v_2) \dots (x^2+u_mx+v_m),$$
|
||
|
||
kde $c_1, c_2, \dots, c_k$ jsou reálné kořeny polynomu $p(x)$, $b_1, \overline{b_1}, b_2, \overline{b_2}, \dots, b_m, \overline{b_m}$ jsou všechny dvojice komplexně sdružených kořenů $p(x)$ a $x^2 + u_ix + v_i = (x − b_i)(x − \overline{b_i})$.
|
||
|
||
### Speciální typy polynomů
|
||
- binomické
|
||
- $x^n + a_0$ - přes vzorce $a^2 − b^2$, $a^3 ± b^3$ atd., nebo přes $n$-tou odmocninu $a_0$
|
||
- reciproké
|
||
- platí, že $a_{n−i} = a_i$ pro všechna $i$, nebo $a_{n−i} = −a_i$ pro všechna $i$ - kořeny ±1, substituce $y = x + 1/x$
|
||
- trinomické
|
||
- $a_{2k}x^{2k} + a_{k}x^k + a_{0}$ - substituce typu $y = x^k$ |