32 lines
1.3 KiB
Markdown
32 lines
1.3 KiB
Markdown
# Vlastní čísla
|
|
|
|
- $A \times \vec{u} = \lambda \times \vec{u}$
|
|
$\vec{u} \in U \smallsetminus \{o\}$
|
|
|
|
- $(A-\lambda I) \times \vec{u} = o$
|
|
|
|
#### Vlastní čísla
|
|
|
|
1. Vypočítáme determinant matice
|
|
$\det{(\lambda I - A)}$
|
|
2. V průběhu si zkusíme vytknout něco s lambdou, např. $(\lambda-5)$
|
|
3. Výsledek zapíšeme ve tvaru $(\lambda-5)(\lambda+2)^2$ a získáme kořeny
|
|
$(\lambda_{1} = 5, \lambda_{2,3} = -2)$
|
|
|
|
#### Vlastní vektory
|
|
|
|
1. Dosadíme vlastní číslo za lambdu
|
|
2. Vypočítáme GJEM z matice s dosazenou lambdou
|
|
3. Pomocí $n-hod(\lambda I-A)$ zjistíme počet dosazovaných LN vektorů
|
|
4. Do vlastního vektoru odzadu dosadíme LN vektory (pokud jen 1, dosadíme nenulové číslo)
|
|
5. Dopočítáme pomocí rovnic v matici zbytek souřadnic
|
|
např.: $h_{1} = [2, -1, 1]^T$
|
|
|
|
Pokud nám chybí některé $h_{i}$ (máme vícenásobné vl. číslo ale $n-hod(\lambda I-A)$ vyjde menší), je možné $h_3$ dopočítat opakováním postupu pro $(\lambda I-A)\times x = -h_{2}$.
|
|
|
|
Vlastním vektorem $h_{1} = [2, -1, 1]$ se myslí $t\times [2, -1, 1], t\in R$
|
|
|
|
#### Jordanův kanonický tvar
|
|
|
|
1. Na diagonálu dáme jednotlivá vlastní čísla
|
|
2. Pokud jsme dopočítávali vlastní vektor pro některé vlastní číslo, je potřeba dát 1 nad diagonálu u Jordanova bloku |