FAV-ZCU/KMA DMA/Prednaska01.md

Množiny

• soubor vzájemně různých prvků (naivní reorie množin)

A, B, X; a \in A, a \notin A, A \ni a

Možinové operace

• A \cup B = \{ u \mid w \in A \vee u \in B \}
• A \cap B
• A \setminus B

de Morganovy zákony

• A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)

Rovnost dvou množin

• A = B \iff A \leq B \wedge B \leq A

Kartézský součin množin

• A \cdot B = \{ (a, b) \mid a \in A \wedge b \in B \}
• B \cdot A = \{ (b,a) \mid b \in B \wedge a \in A \}
• A_{1}\cdot A_{2}\cdot\dots \cdot A_{n} = \{ (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) \mid a_{i} \in A_{i} \, \forall \, i = 1, \dots, n \}

Základní množiny číselné

• \mathbb{N}, \mathbb{N}_{0}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}

Funkce

F : \mathbb{R} \to \mathbb{R} (reálné funkce reálné proměnné)

y = e^x (exponenciela)

• důležitá funkce v DMA
• def. obor \mathbb{R}
• obor hodnot (0, +\infty)
• y' = e^x
• \displaystyle e^x = \sum \frac{x^n}{n!}
• 1 + x \leq e^x

Zobrazení

F : A \to B

• \forall \, a \in A \quad \exists \text{ nejvýše 1 } b \in B

Relace

Binární relace z množina A do množiny B

• \rho \leq A \times B

n-ární relace A_{1}, \dots, A_{n} \quad \rho \leq A_{1} \times \dots \times A_{n}

Příklad

• dělitelnost na \mathbb{N} \dots \varrho
  • a, b \in \mathbb{N} \quad a \, \rho \, b \iff a \mid b
• relace rovnoběžnosti: R^2 přímky
  • p \, \rho \, q \iff p \Vert q

Obory

• levý obor relace ... zobecnění definičního oboru
• pravý obor relace ... zobecnění oboru hodnot

Definice

• \varrho \leq A \times B
  • levý obor: L_{\rho} = \{ a \in A \mid \exists \, b \in B : (a, b) \in \rho \} nebo a \, \rho \, b
  • pravý obor: R_{\rho} = \{ b \in B \mid \exists \, a \in A : (a, b) \in \rho \} nebo a \, \rho \, b

Příklad

• X = \{ 2, 3, 5 \} \quad Y = \{ 1, 4, 7, 10 \}
• \rho \leq X \times Y, \quad x \, \rho \, y \iff x \mid y
• \rho = \{ (2, 4), (2, 10), (5, 10) \}
• L_{\rho} = \{ 2, 5 \}
• P_{\rho} = \{ 4, 10 \}

Operace s relacemi

• průnik, sjednocení, ...
• \rho_{1}, \rho_{2} \leq Y \times X \qquad \rho_{1} \leq \rho_{2} \quad \rho_{1} \text{ implikuje } \rho_{2}

Př. X, Y množina osob

• \rho_{1} x \text{ si tyká s } y
• \rho_{2} x \text{ zná } y
• \rho_{1} \leq \rho_{2}

Skládání relací (jako skládání funkcí)

• \rho_{1} \leq X \times Y, \quad \rho_{2} \leq Y \times Z
• \rho_{1} \circ \rho_{2} = \{ (x, z) \mid x \in X, z \in Z, \exists \, y \in Y : x \, \rho_{1} \, y \wedge y \, \rho_{2} \, z \}
• obecně nekomutativní, asociativní

Věta o asociativitě skládání

• X, Y, Z, W, \quad \rho_{1} \leq X \times Y, \quad \rho_{2} \leq Y \times Z, \quad \rho_{3} \leq Z \times W, pak platí \rho_{1} \circ (\rho_{2} \circ \rho_{3}) = (\rho_{1} \circ \rho_{2}) \circ \rho_{3}

Dk: x \, [\rho_{1} \circ (\rho_{2} \circ \rho_{3})] \, w

• \exists \, y \in Y : x \, \rho_{1} \, y \wedge y \, (\rho_{2} \circ \rho_{3}) \, w
• \exists \, z \in Z : x \, \rho_{2} \, z \wedge z \, \rho_{3} \, w
• \implies \exists \, y \in Y \exists z \in Z : x \rho_{1} y \wedge y \rho_{2} z \wedge z \rho_{3} w
• \implies x \, [(\rho_{1} \circ \rho_{2}) \circ \rho_{3}] \, w

Relace na množině

\rho \leq X \times X

Př.

• a) dělitelnost \mathbb{N} - a \, \rho \, b \iff a \mid b \quad \rho \leq \mathbb{N} \times \mathbb{N}
  • a \, \rho \, a \quad a \mid a \quad \forall \, a \in \mathbb{N} : a \mid a - reflexivita
  • a \, \rho \, b \wedge b \, \rho \, a \quad \forall \, a \in \mathbb{N} : a \mid b \wedge b \mid a \implies a = b - slabá antisymetrie
  • a \, \rho \, b \wedge b \, \rho \, c \quad \forall \, a, b, c \in \mathbb{N} : a \mid b \wedge b \mid c \implies a \mid c - tranzitivita
• b) inkluze
  • A \, \rho \, B \iff A \subseteq B
  • \forall \, A \in X \quad A \subseteq A - reflexivní
  • \forall \, A, B \in X \quad A \subseteq B \wedge B \subseteq A \implies A = B - slabě antisymetrická
  • \forall \, A, B, C \in X \quad A \subseteq B \wedge B \subseteq C \implies A \subseteq C - tranzitivní
• c) \leq R \quad
  • \forall \, a \in \mathbb{R} : a \leq a - reflexivní
  • \forall \, a, b \in \mathbb{R} : a \leq b \wedge b \leq a \implies a = b - slabě antisymetrická
  • \forall \, a, b, c \in \mathbb{R} : a \leq b \wedge b \leq c \implies a \leq c - tranzitivní
  • < \mathbb{R} \quad \forall \, a, b \in \mathbb{R} : a < b \implies b \cancel{\lt} a - silná antisymetrie

Vlastnosti

• \rho \leq X \times X
• \rho reflexivní, pokud \forall \, a \in X : a \, \rho \, a
• \rho slabě antisymetrická, pokud \forall \, a, b \in X : a \, \rho \, b \wedge b \, \rho \, a \implies a = b
• \rho silně antisymetrická, pokud \forall \, a, b \in X : a \, \rho \, b \wedge b \, \cancel\rho \, a
• \rho symetrická, pokud \forall \, a, b \in X : a \, \rho \, b \wedge b \, \rho \, a
• \rho tranzitivní, pokud \forall \, a, b, c \in X : a \, \rho \, b \wedge b \, \rho \, c \implies a \, \rho \, c
• \rho ekvivalentní, pokud \rho je reflexivní, symetrická a tranzitivní
• \rho tolerantní, pokud \rho je reflexivní a symetrická

Třídy ekvivalence

• Př. Matice řádu n ... A \, \rho \, B \iff hod A = hod B

Rozklad množiny

X, \{ B_{i} \}_{i \in I}

1. B_{i} \neq \emptyset \quad \forall \, i \in I
2. B_{i} \cap B_{j} = \emptyset \quad \forall \, i \neq j
3. \cup_{i\in I} \, B_{i} = X

mezi ekvivalencí a rozklady existuje vzájemně jednoznačný vztah - bijekce

[?] kolik existuje rozkladů n-prvkové množiny

---

Rekurentní počítání

• Př. (Fibonacciho čísla) - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
• Jak zjistit 1000. člen?
  • F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}, \quad F_{1} = 1, F_{2} = 1
  • F_n jako funkce n?
  • F_{n-1} = F_{n-1}
  • f_{n} = (F_{n}, F_{n-1})^T, \quad f_{n-1} = (F_{n-1}, F_{n-2})^T
  • F_{n} = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} f_{n-1} = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}^2 f_{n-2} = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}^{n-1} f_{1}
  • A = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}
  • f_{n} = A \cdot f_{n-1}
  • A = T \cdot J \cdot T^{-1}
  • A^n = T \cdot J^n \cdot T^{-1} = T \cdot J^n \cdot T^{-1} \cdot T \cdot J^n \cdot T^{-1} \cdot \dots \cdot T \cdot J^n \cdot T^{-1}