FAV-ZCU/KMA DMA/Prednaska05.md

Booleova algebra

• distributivní a komplementární svaz
• má 0 (nejmenší prvek) a 1 (největší prvek)
• ? struktura konečných B. algeber
  • atom B. algebry B = (X, \wedge, \vee, \overline{}, 0, 1)
    • prvek a \in X se nazývá atom B. algebry B, pokud
    • \forall \, x \in X: x \wedge a = 0 nebo x \wedge a = a
  • Pozorování: X konečné : atom je takový prvek, jehož bezprostřední předchůdce je 0
    • jinak řečeno: výška atomu je 2
  • Tvrzení: B = (X, \wedge, \vee, \overline{}, 0, 1) je konečná B. algebra, x \in X, x \neq 0, pak
    • x = a_{1} \vee a_{2} \vee \dots \vee a_{k}
    • a_{i} jsou atomy B. algebry t. ž. a_{i} \leq x
    • a zároveň v \{ a_{1}, \dots, a_{k} \} jsou obsaženy všechny atomy \leq x
  • Dk.: a_{i}, i = 1, \dots, k atomy \leq x nechť \exists atom a a \leq x, který ve spojení chybí a = a \wedge x = a \wedge (a_{1} \vee a_{2} \vee \dots \vee a_{k}) = (a \wedge a_{1}) \vee (a \wedge a_{2}) \vee \dots \vee (a \wedge a_{k})
    • a_{i} \vee a_{2} \vee \dots \vee a_{k} \leq x
    • pokud a \wedge a_{1} = 0 = a \wedge a_{2} = \dots = a \wedge a_{k}, pak a = 0
      • \implies \exists \, i : a \wedge a_{i} \neq 0
      • a \wedge a_{1} = a = a_{1} spor

Věta (Minsky)

• P = (X, P), height(P) = h
  • pak \exists rozklad X = A_{1} \cup \dots \cup A_{h}, kde A_{i} je antiřetězec
  • i = 1, \dots, h
  • navíc: neexistuje rozklad na méně než h antiřetězců
• Dk.:
  • x \in X, výška prvku x: height(x) = největší t t. ž. existuje řetězec x_{1} < \dots < x_{t-1} < x_{t} = x
  • A_{i} = \{ x \in X \mid height(x) = i \}, jsou to antiřetězce: x, y \in A_{i}
    • x_{1} < \dots < x_{i} = x < y = x_{i+1} \implies výška y alespoň i+1
      • spor s y \in A_{i}
    • sporem nechť x \neq y, předpokládám x < y
  • lépe to nejde:
  • height(P) = h \implies \exists řetězec na h prvkách
    • C = \{ x_{1}, \dots, x_{h} \}
  • nechť \exists rozklad na méně než h antiřetězců
    • t < h
  • Dirichletův přihrádkový princim h prvků do t < h přihrádek

Tvrzení

• v lib. distributivním s vazu (X, \leq) platí duální distributivní zákon
  • x \vee (y \wedge z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z) \quad \forall \, x, y, z \in X
  • původní d. z. a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c) \quad \forall \, a, b, c \in Y, (Y, \leq) svaz
• Dk.:
  • předpokládejme že platí
    • a \wedge (b \vee c) = (a \wedge c) \vee (a \wedge c)
    • a = x \vee y, b = x, c = z
    • (x \vee y) \wedge (x \vee z) = ((x \vee y) \wedge x) \vee ((x \vee y) \wedge z)
    • = [(x \wedge x) \vee (x \wedge y)] \vee [(x \wedge z) \vee (y \wedge z)]
    • = [x \vee (x \wedge y)] \vee [(x \wedge z) \vee (y \wedge z)]
    • = x \vee (x \wedge z) \vee (y \wedge z)
    • = x \vee (y \wedge z)

Motivace komplement

• doplněk množin
• A^{\subset} = X \setminus A
• A \cap A^{\subset} = \emptyset
• A \cup A^{\subset} = X
• \overline a = b, c
• a \wedge c = 0
• a \vee c = 1

Věta

• je-li svaz distributivní komplementní, pak každý prvek má právě 1 komplement
• Důsledek: distrib. svaz, pak každý prvek má nejvýše 1 komplement
• Dk.: b, předp. že existují alespoň 2 komplementy pro b
  • b_{1}, b_{2} \quad \overline b_{1} = b, \overline b_{2} = b, b_{1} \neq b_{2}
  • b_{1} \wedge b = 0, b_{2} \wedge b = 0
  • b_{1} \vee b = 1, b_{2} \vee b = 1
  • b_{1} = b_{1} \wedge 1 = b_{1} \wedge (b_{2} \vee b) = (b_{1} \wedge b_{2}) \vee (b_{1} \wedge b) = b_{1} \wedge b_{2}
  • b_{2} = b_{2} \wedge 1 = \dots = b_{2} \wedge b_{1}
  • \implies b_{2} = b_{1}

Věta (De Morganova)

• Boolova algebra B = (B, \wedge, \vee) - distributivní komplementární svaz s 0, 1
  • \forall x, y \in B : \overline{x \vee y} = \overline x \wedge \overline y
    • \overline{x \wedge y} = \overline x \vee \overline y
• Dk.:
  • (x \vee y) \wedge (\overline x \wedge \overline y) = (x \wedge \overline x \wedge \overline y) \vee (y \wedge \overline x \wedge \overline y) = 0 \vee 0 = 0
  • (x \vee y) \vee (\overline x \wedge \overline y) = (x \vee \overline x \vee \overline y) \wedge (y \vee \overline x \vee \overline y) = 1 \wedge 1 = 1

Věta (Booleovský kalkulus)

• B = (X, \wedge, \vee, \overline{}) \quad x, y, z \in X platí
  1. x \vee x = x \quad idempotentnost
  2. x \vee y = y \vee x \quad komutativita
  3. (x \vee y) \vee z = x \vee (y \vee z) \quad asociativita
  4. x \vee (x \wedge y) = x \quad absorbce
  • D) \quad x \wedge (y \vee z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z) \quad distributivita
  • N1) 0, 1 neutrální prvky
    1. x \vee 0 = x \qquad x \wedge 1 = x
    2. x \vee 1 = 1 \qquad x \wedge 0 = 0
  • K1) \quad \overline 0 = 1 \qquad \overline 1 = 0
  • K2) \quad x \vee \overline x = 1 \qquad x \wedge \overline x = 0
  • K3) \quad \overline{\overline x} = x \quad involuformost
  • K4) \quad \overline{x \vee y} = \overline x \wedge \overline y \qquad \overline{x \wedge y} = \overline x \vee \overline y

Stoneova věta

• Př. dělitelé čísla 30, uspořádání dělitelnosti
  • X = \{ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 \} - B. algebra
• Př. $A = { a, b, c }$M.2 and 2.5" Drive
  • (2^A, \leq) - B. algebra
• izomorfizmus dvou B. algeber
  • B = (X, \wedge, \vee, \overline{}, 0_{B}, 1_{B}), C = (Y, n, u, ', 0_{C}, 1_{C}) je zobrazení F : X \to Y, které je
    1. bijekce
    2. F zachovává všechny operace
       • F(x \wedge y) = F(x) \, n \, F(y)
       • F(x \vee y) = F(x) \, u \, F(y)
       • F(\overline x) = F(x)'
       • F(0_{B}) = 0_{C}, F(1_{B}) = 1_{C}

Věta (Stone)

• každá konečná Booleova algebra je izomorfní
• Booleově algebře (2^X, \leq) pro nějakou množinu X
• X = At(B) \quad X je množina atomů B
• Dk.:
  • zobrazení \Theta, b \in B
  • \Theta(b) = \{ x \mid x \leq b, x \text{ atom } B \}
  • b = 0 \quad \Theta(0) = \emptyset
  • \Theta je
    • bijekce
      • prosté (injektivní)
      • na (surjektivní)
    • zachování operace
  • \Theta injektivní b_{1} \neq b_{2} \implies \Theta(b_{1}) \neq \Theta(b_{2})
    • b_{1} \neq b_{2} \implies b_{1} \not\leq b_{2} \text{ nebo } b_{2} \not\leq b_{1}
    • nechť b_{1} \not\leq b_{2} : b_{1} \wedge b_{2} \neq b_{1}, b_{1} = b_{1} \wedge 1 = b_{1} \wedge (b_{2} \vee \overline b_{2})
    • = (b_{1} \wedge b_{2}) \vee (b_{1} \wedge \overline b_{2}) \implies b_{1} \wedge \overline b_{2} \neq 0
    • \implies \exists \text{ atom } a \in B : a \leq b_{1}, a \not\leq b_{2}
    • \implies a \in \Theta(b_{1}) \wedge a \not\in \Theta(b_{2})
  • \Theta surjektivní
    • plyne z věty o jednoznačnosti vyjádření prvku b pomocí suprema mn. atomů
    • \implies \Theta je bijekce (vzájemně jednoznačné zobrazení)
    • \Theta zachovává 0, 1 b(0) = \emptyset, b(1) = X
    • \Theta zachovává komplement
    • \Theta zachovává operace \wedge, \vee
      • chci \Theta(b_{1} \wedge b_{2}) = \Theta(b_{1}) \cap \Theta(b_{2}) (1)
        • \Theta(b_{1} \vee b_{2}) = \Theta(b_{1}) \cup \Theta(b_{2}) (2)
      1. atom x \leq b_{1} \wedge b_{2} \implies x \leq b_{1} \wedge x \leq b_{2}
         • \implies x \in \Theta(b_{1}), x \in \Theta(b_{2})
         • \implies x \in \Theta(b_{1}) \cap \Theta(b_{2})
         • x \in \Theta(b_{1}) \wedge \Theta(b_{2}) \implies x \in \Theta(b_{1}) \wedge x \in \Theta(b_{2})
           • \implies x \leq b_{1} \wedge x \leq b_{2} \implies x \leq b_{1} \wedge b_{2} \implies x \in \Theta(b_{1} \wedge b_{2})
      2. \subseteq \quad x \in \Theta(b_{1} \vee b_{2}) \implies x \leq b_{1} \vee b_{2} \implies x = x \wedge (b_{1} \vee b_{2})
         • = (x \wedge b_{1}) \vee (x \wedge b_{2}) \implies x \wedge b_{1} \neq 0 \text{ nebo } x \wedge b_{2} \neq 0
         • pokud x \wedge b_{1} = 0 = x \wedge b_{2}
           • \implies x \leq b_{2} \text{ nebo } x \leq b_{2} \implies x \in \Theta(b_{1}) \text{ nebo } x \in \Theta(b_{2})
           • \implies x \in \Theta(b_{1}) \cup \Theta(b_{2})
      • \supseteq \quad x \in \Theta(b_{1}) \cup \Theta(b_{2}) \implies x \leq b_{1} \vee x \leq b_{2} \implies x \leq b_{1} \vee b_{2}
        • \implies x \in \Theta(b_{1} \vee b_{2})
      • Důsl.: Každá konečná B. algebra má 2^n prvků, kde n = \# atomů.
        • \implies # atomů = \log_{2}|B|
          • B = (B, \leq)
      • Důsl.: Každé dvě B. algebry se stejným počtem prvků jsou izomorfní