Přidání 6. přednášky z DMA
This commit is contained in:
parent
e3468d134d
commit
7a896754d7
|
|
@ -126,3 +126,26 @@ Věta (Stone)
|
|||
- $\implies \exists \text{ atom } a \in B : a \leq b_{1}, a \not\leq b_{2}$
|
||||
- $\implies a \in \Theta(b_{1}) \wedge a \not\in \Theta(b_{2})$
|
||||
- $\Theta$ surjektivní
|
||||
- plyne z věty o jednoznačnosti vyjádření prvku b pomocí suprema mn. atomů
|
||||
- $\implies \Theta$ je bijekce (vzájemně jednoznačné zobrazení)
|
||||
- $\Theta$ zachovává 0, 1 $b(0) = \emptyset, b(1) = X$
|
||||
- $\Theta$ zachovává komplement
|
||||
- $\Theta$ zachovává operace $\wedge, \vee$
|
||||
- chci $\Theta(b_{1} \wedge b_{2}) = \Theta(b_{1}) \cap \Theta(b_{2})$ (1)
|
||||
- $\Theta(b_{1} \vee b_{2}) = \Theta(b_{1}) \cup \Theta(b_{2})$ (2)
|
||||
1. atom $x \leq b_{1} \wedge b_{2} \implies x \leq b_{1} \wedge x \leq b_{2}$
|
||||
- $\implies x \in \Theta(b_{1}), x \in \Theta(b_{2})$
|
||||
- $\implies x \in \Theta(b_{1}) \cap \Theta(b_{2})$
|
||||
- $x \in \Theta(b_{1}) \wedge \Theta(b_{2}) \implies x \in \Theta(b_{1}) \wedge x \in \Theta(b_{2})$
|
||||
- $\implies x \leq b_{1} \wedge x \leq b_{2} \implies x \leq b_{1} \wedge b_{2} \implies x \in \Theta(b_{1} \wedge b_{2})$
|
||||
2. $\subseteq \quad x \in \Theta(b_{1} \vee b_{2}) \implies x \leq b_{1} \vee b_{2} \implies x = x \wedge (b_{1} \vee b_{2})$
|
||||
- $= (x \wedge b_{1}) \vee (x \wedge b_{2}) \implies x \wedge b_{1} \neq 0 \text{ nebo } x \wedge b_{2} \neq 0$
|
||||
- pokud $x \wedge b_{1} = 0 = x \wedge b_{2}$
|
||||
- $\implies x \leq b_{2} \text{ nebo } x \leq b_{2} \implies x \in \Theta(b_{1}) \text{ nebo } x \in \Theta(b_{2})$
|
||||
- $\implies x \in \Theta(b_{1}) \cup \Theta(b_{2})$
|
||||
- $\supseteq \quad x \in \Theta(b_{1}) \cup \Theta(b_{2}) \implies x \leq b_{1} \vee x \leq b_{2} \implies x \leq b_{1} \vee b_{2}$
|
||||
- $\implies x \in \Theta(b_{1} \vee b_{2})$
|
||||
- Důsl.: Každá konečná B. algebra má $2^n$ prvků, kde $n = \#$ atomů.
|
||||
- $\implies$ # atomů = $\log_{2}|B|$
|
||||
- $B = (B, \leq)$
|
||||
- Důsl.: Každé dvě B. algebry se stejným počtem prvků jsou izomorfní
|
||||
|
|
|
|||
133
KMA DMA/Prednaska06.md
Normal file
133
KMA DMA/Prednaska06.md
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,133 @@
|
|||
Struktura B. algeber
|
||||
- $X = \{a, ,b, c\}, (2^x, \leq)$
|
||||
- každá podmnožina X reprezentuje char. vektory
|
||||
|
||||
Věta (Sperner)
|
||||
- $\displaystyle width(2^x) = {|x| \choose \lfloor\frac{|x|}{2}\rfloor}$
|
||||
- Pascalův tojúhelník
|
||||
|
||||
Direktní součin B. algebry
|
||||
- $B_{1} = (B_{1}, \leq_{1}), B_{2} = (B_{2}, \leq_{2})$
|
||||
- direktní součin B. algeber $B_{1} \times B_{2}$ se rovná algebra
|
||||
- $B = B_{1} \times B_{2} = (B_{1} \times b_{2}, \leq)$
|
||||
- $(a_{1}, a_{2}) \leq (b_{1}, b_{2}) \iff a_{1} \leq_{1} b_{1} \wedge a_{2} \leq_{2} b_{2}$
|
||||
- Př.: $B_{1} \quad B_{2}$
|
||||
- $B_{1} = \{0_{1}, 1_{1}\} \quad B_{2} = \{0_{2}, 1_{2}\}$
|
||||
- $B_{1} \times B_{2} = \{(0_{1}, 0_{2}), (0_{1}, 1_{2}), (1_{1}, 0_{2}), (1_{1}, 1_{2})\}$
|
||||
- Důsl.: Každá B. algebra B je izomorfní $B_{2}^n$, kde n = # atomů B
|
||||
- $B_{2}^2 = B_{2} \times B_{2}, B_{2}^3 = B_{2} \times B_{2} \times B_{2}$
|
||||
- $B_{2}^4$ - hyperkrychle (4-rozměrná)
|
||||
|
||||
Booleovské funkce
|
||||
- $f: B_{2}^n \to B_{2}^m \quad$ omezíme se na $m = 1$
|
||||
- speciální případ je výroková logika
|
||||
- binární logické spojky, pravdivostní tabulka
|
||||
|
||||
| $p$ | $q$ | $p \wedge q$ | $p \vee q$ | $p \implies q$ | $p \iff q$ | $p + q$ |
|
||||
| --- | --- | ------------ | ---------- | -------------- | ---------- | ------- |
|
||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
|
||||
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
|
||||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
|
||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
|
||||
|
||||
- kolik existuje B. fcí n proměnných?
|
||||
- $x_{1}, x_{2} \dots x_{n} \qquad f(x_{1}, \dots, x_{n})$
|
||||
- \# vstupů je $2^n$ ... $2^{2^n}$
|
||||
- jaká je struktura B. fcí?
|
||||
- množina všech B. fcí n proměnných ... Fn
|
||||
- na Fn lze zavést uspořádání
|
||||
- $F, g \in Fn$, definujeme $f \leq g \iff \forall \, x \in B_{2}^n \quad f(x) \leq g(x)$
|
||||
- porovnání v $B_{2}$
|
||||
- pokud $f \leq g$, pak řekneme, že f implikuje g
|
||||
- Př.:
|
||||
- $f \leq g$
|
||||
- $f \Vert h$ jsou neporonatelné
|
||||
|
||||
| x | y | f(x, y) | g(x, y) | h(x, y) |
|
||||
| --- | --- | ------- | ------- | ------- |
|
||||
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
|
||||
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
|
||||
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
|
||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
|
||||
|
||||
|
||||
- Množina Fn tvoří B. algebru
|
||||
- $(f \wedge g)(x) = f(x) \wedge g(x)$
|
||||
- $(f \vee g)(x) = f(x) \vee g(x)$
|
||||
- $\overline f(x) = \overline{f(x)}$
|
||||
|
||||
Booleovy polynomy
|
||||
- $\wedge, \vee, \overline{}$
|
||||
- Def.: B. polynom v proměnných $x_{1}, \dots, x_{n}$
|
||||
1. $0, 1, x_{1}, \dots, x_{n}$ tvoří B. polynom
|
||||
2. jsou-li p, q B. polynomy, pak
|
||||
- $p \wedge q, p \vee q, \overline p$
|
||||
- jsou B. p.
|
||||
- B. p. v proměnných $x_{1}, \dots, x_{n}$ se rozumí každý výraz vytvořený konečným počtem aplikací těchto pravidel
|
||||
- Př.: $x_{1}, x_{2}, x_{3} : x_{1} \quad \overline{x_{3}} \wedge x_{1}$
|
||||
- $x_{2} \vee x_{3}$
|
||||
- Def.: literál proměnné $x_{i}$ je B. p. rovný $x_{i}$ nebo $\overline{x_{i}}$
|
||||
- **součinová (průseková) klauzule** v proměnných $x_{1}, \dots, x_{n} \qquad \overline{x_{1}} \wedge x_{2} \wedge x_{7}$
|
||||
- součin (průsek) některých literálů proměnných $x_{1}, \dots, x_{n}$
|
||||
- **součtová (spojová) klauzule**
|
||||
- součet (spojení) $\qquad x_{1} \vee \overline{x_{3}} \vee x_{5}$
|
||||
- **úplná součinová klauzule** součinová klauzule obsahující literály všech proměnných
|
||||
- $\overline{x_{1}} \wedge x_{2} \wedge x_{3}$
|
||||
- $x_{1} \wedge x_{2} \wedge \overline{x_{3}}$
|
||||
- **úplná součtová klauzule** součtová klauzule obsahující literály všech proměnných
|
||||
- $x_{1} \vee \overline{x_{2}} \vee x_{3}$
|
||||
- $\wedge \to \cdot \qquad \overline{x_{1}} \wedge x_{2} \wedge x_{7} = \overline{x_{1}} x_{2} x_{3}$
|
||||
- $\wedge \to + \qquad x_{1} \wedge \overline{x_{3}} \wedge x_{5} = x_{1} + \overline{x_{3}} + x_{5}$
|
||||
- **součtová (disjunktivní) forma**
|
||||
- pokud B. f. vyjádřená jako součet součinových klauzulí
|
||||
- **úplná součtová (disjunktivní) forma**
|
||||
- součet nějakých úplných součtových klauzulí
|
||||
- **součinová (konjuktivní) forma**
|
||||
- pokud B. f. vyjádřená jako součin součtových klauzulí
|
||||
- **úplná součinová (konjuktivní) forma**
|
||||
- součet nějakých úplných součinových klauzulí
|
||||
- Př.: $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})$
|
||||
- $x_{1} \cdot x_{2} + x_{3} \quad$ součtová (disj.) forma
|
||||
- $x_{1} \cdot \overline{x_{2}} \cdot x_{3} + \overline{x_{1}} \cdot x_{2} \cdot \overline{x_{3}} \quad$ úplná součtová (disj.) forma
|
||||
- $(\overline{x_{1}} + x_{2}) \cdot x_{3} \quad$ součinová (konj.) forma
|
||||
- $(\overline{x_{1}} + \overline{x_{2}} + \overline{x_{3}}) \cdot (x_{1} + \overline{x_{2}} + x_{3}) \quad$ úplná součinová (konj.) forma
|
||||
|
||||
Věta: Každá B. fce se dá vyjádřit pomocí B. polynomu
|
||||
- Každá nekonstantní B. fce se dá vyjádřit pomocí ÚDNF nebo ÚKNF.
|
||||
- Př.:
|
||||
- ÚDNF: $\quad f(x, y, z) = \overline x y \overline z + \overline x y z + x y \overline z$
|
||||
- ÚKNF: $\quad f(x, y, z) = (x+y+z)(x+y+\overline z)(\overline x+y+z)(\overline x+y+\overline z)(\overline x+\overline y+\overline z)$
|
||||
|
||||
| x | y | z | f(x, y, z) | ÚKD | ÚDK |
|
||||
| --- | --- | --- | ---------- | --------------------------------------- | ----------------------------------------- |
|
||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | | $x + y + z$ |
|
||||
| 0 | 0 | 1 | 0 | | $x + y + \overline z$ |
|
||||
| 0 | 1 | 0 | 1 | $\overline x \cdot y \cdot \overline z$ | |
|
||||
| 0 | 1 | 1 | 1 | $\overline x \cdot y \cdot z$ | |
|
||||
| 1 | 0 | 0 | 0 | | $\overline x + y + z$ |
|
||||
| 1 | 0 | 1 | 0 | | $\overline x + y + \overline z$ |
|
||||
| 1 | 1 | 0 | 1 | $x \cdot y \cdot \overline z$ | |
|
||||
| 1 | 1 | 1 | 0 | | $\overline x + \overline y + \overline z$ |
|
||||
|
||||
Minimalizace B. fcí
|
||||
- minimální disjunktivní forma
|
||||
- součet co nejmenšího počtu součinů
|
||||
|
||||
Quineho-McCluskeyho metoda
|
||||
- Př.:
|
||||
- ÚDNF: $\quad \overline x \overline y \overline z + \overline x \overline y z + x \overline y z + x y \overline z$
|
||||
1. dvojice: $\quad \overline x \overline y (\overline z + z) = \overline x \overline y$
|
||||
2. druhá dvojice: $\quad (\overline x + x) \overline y \overline z = \overline y \overline z$
|
||||
|
||||
| x | y | z | f(x, y, z) |
|
||||
| --- | --- | --- | ---------- |
|
||||
| 0 | 0 | 0 | 1 |
|
||||
| 0 | 0 | 1 | 1 |
|
||||
| 0 | 1 | 0 | 0 |
|
||||
| 0 | 1 | 1 | 0 |
|
||||
| 1 | 0 | 0 | 1 |
|
||||
| 1 | 0 | 1 | 1 |
|
||||
| 1 | 1 | 0 | 1 |
|
||||
| 1 | 1 | 1 | 0 |
|
||||
|
||||
|
||||
Loading…
Reference in a new issue