Lineární zobrazení

U = R^4 - před zobrazením
V = R^3 - po zobrazení
\mathbb{L} : U \to V

Nazývá se také homomorfizmus.

\dim(Ker \space \mathbb L) + \dim(Im \space \mathbb L) = \dim(U)

Ověření linearity zobrazení

zkontrolovat, že platí
- \mathbb{L}(V + V) = \mathbb{L}(V) + \mathbb{L}(V)
- \mathbb{L}(k \cdot V) = k \cdot \mathbb{L}(V)

Jádro

všechny LK vektorů před zobrazením, které se po zobrazení rovnají 0
zjištění přes zjištění LK
- Ker \space \mathbb{L} = \{ \forall \vec x \in U; \mathbb L (\vec x) = 0 \}
zápis: Ker \space \mathbb{L} = \langle \vec{u}; \vec{v} \rangle

Zapíšu zobrazení do matice, po provedení GJEM zjistím, které prvky se zobrazí na nulový vektor (tedy si vyjádřím např. $a, b, c$).

Obraz

všechny LK vektorů po zobrazení
- Im \space \mathbb{L} = \{ \vec y \in V; \exists \vec x U, \mathbb{L}(\vec x) = \vec y \}
zápis: Im \space \mathbb{L} = \langle \vec{u}; \vec{v} \rangle

Vypočítám jej opět zapsáním zobrazení do matice a provedením GJEM. Obrazem je poté LN množina vektorů (podobné jako u báze).

Identické zobrazení

Zobrazení definované vztahem F(x) = (x).

Prosté zobrazení

Každý prvek z prostoru U se zobrazí přesně na jeden prvek z prostoru V.

\dim(Ker \space \mathbb{L}) = \{\vec{o}_{U}\}

Izomorfní zobrazení

Lineární zobrazení je izomorfizmem, pokud je prosté a dimenze jeho obrazu je stejná jako dimenze prostoru V.

platí \dim(Ker \space \mathbb{L}) = \{\vec{o}_{U}\} a \dim(Im \space \mathbb{L}) = \dim(V)
\dim(U) = \dim(V)

Matice lineárního zobrazení

Nejsnadnější způsob, jak počítačově popsat lineární zobrazení.

Znázorňuje vztah souřadnicemi prvku vzhledem k jedné bázi a souřadnicemi zobrazení prvku vzhledem k druhé bázi.

Dimenze obrazu lineárního zobrazení \mathbb{L} je stejná jako hodnost matice lineárního zobrazení.
Pokud je matice lineárního zobrazení regulání, lineární zobrazení je izomorfizmus.

Postup:

Určete matici zobrazení \mathbb{L} v bázích B_{1} a B_{2}.

Vektory první báze zobrazím pomocí lineárního zobrazení.
Zobrazené vektory napíšu do sloupců matice A_{2}.
Do matice A_{1} napíšu do sloupců vektory ze druhé báze.
Matice spojím do matice A = [A_{1} \mid A_{2}], kterou vyřeším pomocí GJEM.
Na levé straně díky GJEM dostanu jednotkovou matici a na pravé straně vznikne matice lineárního zobrazení.

Matice přechodu

Matice identického lineárního zobrazení vzhledem k bázím B_{1} a B_{2}.

Postup je stejný jako u matice lineárního zobrazení, jen prvky první báze nezobrazuji a rovnou je zapíšu do matice.

Složené zobrazení

Nechť \mathbb{L}_{1} : U \to V, \mathbb{L}_{2} : V \to W a báze v U, V, W jsou C, D, E. A je matice \mathbb L_1 vzhledem k bázím C, D a B je matice \mathbb L_{2} vhledem k bázím D, E.

Složené zobrazení \mathbb L = \mathbb L_{2} \circ \mathbb L_{1} : U \to W je lineární a jeho matice vzhledem k bázím C, E je rovna matici B \cdot A.

Důsledky:

Pro uvedené matice lin. zobr. platí: hod(B \cdot A) \leq \min\{hod(A), hod(B)\}.
Pokud je lineární zobrazení izomorfizmus s maticí A vzhledem k bázím C, D, potom inverzní zobrazení má vzhledem k bázím D, C matici A^{-1}.

3.4 KiB Raw Blame History