FAV-ZCU/KMA M1/5. Limita funkce a spojitost.md

Limita funkce a spojitost

Mějme dánu funkci f : D \to \mathbb{R} a bod x_0 \in \mathbb{R}^*, který je hromadným bodem D.

Řekneme, že funkce f má limitu b \in \mathbb{R}^* v bodě x_{0}, jestliže pro každou posloupnost (x_{0}) platí $$ \left( ( \space \forall , n \in \mathbb{N} : x_{n} \in D \quad \land \quad x_{n} \neq x_{0} \space ) \quad \land \quad \lim_{ n \to \infty }{x_{n}} = x_{0} \space \right) \quad \implies \quad \lim_{ n \to \infty }{f(x_{n})} = b

a píšeme \displaystyle\lim_{ x \to \infty }{f(x)} = b.

Spojitost funkce

• spojité funkce umíme načrtnout jedním tahem
• příklad
  • spojité procesy (růst člověka)
  • nespojité procesy (bankovní účet)

Definice

Funkce f je

typ spojitosti	podmínka
spojitá v x_0 \in D_f	pokud \displaystyle f(x_{0}) = \lim_{ x \to x_{0} } f(x)
spojitá zprava v x_0 \in D_f	pokud \displaystyle f(x_{0}) = f(x_{0}+)
spojitá zleva v x_0 \in D_f	pokud \displaystyle f(x_{0}) = f(x_{0}-)

Body nespojitosti

Tři druhy bodů nespojitosti:

• ON - odstranitelná nespojitost
  • pokud \displaystyle f(x_{0}) \neq \lim_{ x \to x_{0} } f(x) \in \mathbb{R}
    • limita zprava i zleva je stejná - f(x_{0}+) = f(x_{0}-)
  • funkční hodnota v x_0 se nerovná limitě v x_0, která je vlastní
• NN1D - neodstranitelné nespojitost 1. druhu
  • pokud f(x_{0}+), f(x_{0}-) \in \mathbb{R}, ale f(x_{0}+) \neq f(x_{0}-)
  • limita zprava i zleva je vlastní, ale nerovnají se
  • nazývá se také skoková nespojitost se skokem s
• NN2D - neodstranitelná nespojitost 2. druhu
  • neexistuje alespoň jedna vlastní limita f(x_{0}+) nebo f(x_{0}-)
    • alespoň jedna neexistuje nebo není alespoň jedna vlastní