Randomizované algoritmy

Motivace

Mějme pole prvků, které je tvořeno stejným počtem prvků a a b v nejznámém pořadí. Cílem je najít znak a.

Deterministicky:

Randomizovaně:

randomizovaný algoritmus může být jednodušší neý deteministický při stejném nejhorším případě jako deterministický (např. quicksort)
jednoduchou deterministickou heuristikou s dobrými výsledky může být možné převést na algoritmus s dobrým nejhorším případem dodání náhodnosti (např. medián)
někdy náhodnost může řešit problémy, které deterministicky není možné řešit (problémy řešené orákulem) nebo se zdají nemožné

Randomizace

vhodný nástroj pro vylepšování algoritmů, které mají špatný nejhorší případ a dobrý průměrný případ
nejhorší případ zůstává, ale závisí na štěstí, ne na pořadí vstupních dat
využití v kryptografii, kvantových výpočtech, hrách, simulacích, ...

dělá nedeterministická, náhodná rozhodnutí
- např. uvažuje vstupní data v náhodném pořadí, vybírá alternativu podle prahování na základě náhodného čísla
v určitém momentu dělá náhodný výběr
- inkrementální - náhodné pořadí vkládání
- D&C - náhodný výběr vzorku
obvykle jednodušší implementace, v praxi často rychlejší

Převod na nerandomizovaný alg.

není jasné, jestli je to vždy možné bez zhoršení výkonu
není znám žádný randomizovaný polynomiální algoritmus pro NP-úplné problémy
existují problémy, kde je znám účinný randomizovaný algoritmus, ale není znám účinný deterministický algoritmus
- a není známo, zda jde o P nebo NP problém (např. test prvočísel)

Dělení

nezjišťujeme hodnotu pro každou osobu nebo množinu jednotek, ale jen pro některé náhodné nebo nenáhodné
důvody: čas a peníze
ze vzorků odhady pro celou populaci
- vzorek musí být dostatečně velký

Náhodné vzorkování

Monte Carlo

vždy dostaneme odpověď, ne vždy ale správnou
náhodnost použita pro vedení algoritmu k řešení rychlejším způsobem s rizikem chyby
nelze určit, zda odpověď algoritmu je správná
- můžeme algoritmus spouštět opakovaně a srovnat výsledky
výstup chápán jako náhodná proměnná
příklad: ověření prvočísla
- využijeme hledání dělitele - a z intervalu 2\dots n/2 takové, že n je dělitelné a
- randomizovaný algoritmus
  - vzorkuje se 10 čísel z intervalu, podle toho odpoví
typy
- s jednostrannou chybou
  - pouze pro rozhodovací problémy
  - neřekne ano, pokud nemá požadovanou vlastnost
  - někdy řekne ne, i když má tuto vlastnost
  - velmi praktické, drastická redukce složitosti
- s oboustrannou chybou
  - nechat algoritmus běžet $t$-krát a vzít převažující výsledek
- s neohraničenou chybou
  - obecný randomizovaný algoritmus
  - může potřebovat exponenciální počet běhů pro podstatný nárůst pravděpodobnosti úspěchu

Las Vegas

vždy správná odpověď, ale náhodná doba běhu
náhodnost využita k nalezení kratší cesty ke správné odpovědi
někdy selže - vybraná cesta nevede k řešení
složitost lze chápat jako náhodnou proměnnou
lze jej změnit na Monte Carlo tím, že se po stanoveném čase ukončí a vydá libovolnou odpověď
příklady
- randomizovaný quicksort

na deterministickém zařízení nelze dosáhnout úplné náhodnosti, můžeme doufat jen v pseudonáhodná čísla
špatný generátor - vážné důsledky (obzvláště v kryptografii)
nejčastěji lineární kongruentní generátor
- R_{n} = (aR_{n-1} + c) \mod n
- pro 32 bitů: R_{0} = 0, a = 1366, c = 150889
- hodnoty bez znalosti teorie neměnit